二项检验用来做什么?

用于检验样本中的成功比例是否与某个假设概率相符——例如,硬币是否公平、通过率是否达到目标,或选择某选项的人所占比例是否与基准不同。它适用于任意样本量,因为它使用的是精确的二项概率。

什么时候应使用二项检验而不是 z 检验?

只要样本较小,或 p₀ 接近 0 或 1——即 np₀ 或 n(1 − p₀) 低于约 10,因为此时 z 检验的正态近似并不可靠——就应使用二项检验。样本较大时两者结果几乎相同,但精确检验从不出错,因此几乎没有理由偏好近似方法。

为什么双侧 p 值不能简单地取单侧 p 值的两倍?

只有当零分布对称时,加倍才成立,而这只发生在 p₀ = 0.5 时。对于其他 p₀,分布是偏斜的,与您的结果同样不太可能的相反尾部结果并不是您所在尾部的镜像。标准做法是把所有“发生可能性不超过所观察结果”的结果的概率相加。

如何按 APA 格式报告二项检验?

写明计数与检验方法、假设的概率、精确 p 值以及区间:150 次中的 61 次(p̂ = .41),与 p₀ = .30 比较的精确二项检验:p = .006,95% CI [.33, .49]。p 与 p̂ 用斜体,对不可能超过 1 的比例省略前导的 0。

应报告哪种置信区间?

Clopper–Pearson 区间与精确检验天然搭配,并保证至少达到标称覆盖率,但偏保守。Wilson 区间更短,覆盖率更接近标称水平,是报告比例的好选择。无论选哪一种,都要说明是哪一种。

二项检验有哪些假设?

每次试验只有两种结果、各次试验相互独立、每次试验的成功概率相同,并且试验次数在事先就已固定。对小总体进行不放回抽样违反了独立性;此时应使用超几何分布作为正确的模型。

二项检验计算器

输入成功次数、试验次数以及想要检验的概率,即可得到三种备择假设下的精确二项检验 p 值、Clopper–Pearson 置信区间、用于对比的 Wilson 区间,以及作为效应量的 Cohen's h。原假设下的二项分布会以表格形式列出,让您看到哪些结果构成了 p 值。免费,无需注册。

成功次数 (k)

试验次数 (n)

假设的成功概率 (p₀)

介于 0 和 1 之间的数值,例如 0.5 或 0.25。

备择假设

显著性水平 (α)

区间的置信水平

输入成功次数、试验次数和 p₀。

如何使用二项检验计算器

1. 输入计数。 输入成功次数 (k) 和试验次数 (n)。“成功”指您所计数的那种结果——正面、答对的题目、表示同意的受访者。
2. 输入 p₀。 这是原假设下的成功概率:公平硬币为 0.5,四选一的瞎猜为 0.25,或一个已发表的基准值。
3. 选择备择假设和置信水平。 双侧检验询问真实概率是否在任一方向上不同于 p₀;两个单侧选项只询问其中一个方向。
4. 阅读结果。 精确 p 值、真实概率的置信区间以及原假设分布表会显示在下方。完成后可复制 APA 格式的结果行。

精确二项检验如何工作

如果每次试验都相互独立且成功概率均为 p₀,则成功次数 X 服从二项分布 Binomial(n, p₀):P(X = j) = C(n, j) p₀^j (1 − p₀)^n−j。单侧 p 值就是简单的尾部概率——“概率小于 p₀”对应 P(X ≤ k),“概率大于 p₀”对应 P(X ≥ k)。这里没有任何近似,因此该检验对任何 n 都成立,包括样本很小、或概率接近 0 或 1 的情形——在这些情况下,正态近似的 z 检验会失效。

双侧 p 值需要小心处理。只有当 p₀ = 0.5 时分布才是对称的,此时把较小的尾部加倍才是正确的。本计算器采用 R 的 binom.test 与 SciPy 的 binomtest 的规则:把所有“发生可能性不超过您所观察结果”的结果的概率相加。表格会标出这些结果,让您清楚地看到计入了什么。对于对称的原假设,它等于较小尾部的两倍。

真实概率的置信区间采用 Clopper–Pearson (精确) 区间,由 Beta 分布的分位数构造。它保证至少达到规定的覆盖率,因此偏向较宽的一侧。旁边同时显示 Wilson 得分区间,因为它更窄,且覆盖率接近标称水平。对于单侧备择假设,精确区间同样是单侧的,与 R 的做法一致。

示例:检验 30% 的基准值

点击 试用示例 载入一项调查:150 名受访者中有 61 人选择了某个选项,而一项已发表的基准称有 30% 的人会选择它。观察比例 p̂ = .407;原假设下的期望计数为 45。

精确二项检验,逐步说明

X ~ Binomial(150, 0.3);P(X = 61) = 0.001418

发生可能性不超过 61 的结果:0–29 与 61–150 → 双侧 p = .0056

单侧:P(X ≥ 61) = .0035;P(X ≤ 61) = .998

95% Clopper–Pearson 置信区间 [.327, .490];Cohen's h = 0.22

按 APA 格式:与 30% 的基准相比,选择该选项的受访者更多,150 次中的 61 次(p̂ = .41),与 p₀ = .30 比较的精确二项检验:p = .006,95% 置信区间 [.33, .49]。该区间不包含 .30,与检验结果一致;h = 0.22 按 Cohen 的经验法则属于小到中等的效应量(0.2 为小,0.5 为中,0.8 为大)。

二项检验还是其他检验?

情形	更合适的选择
单一比例,任意样本量	精确二项检验
样本较大,np₀ 与 n(1 − p₀) 均不小于 10	正态近似(单比例 z 检验),两者结果非常接近
两个独立比例	两比例 z 检验;若计数较小,则用 Fisher 精确检验
配对的是/否结果	McNemar 检验,即对不一致对的二项检验
三个或更多类别的计数	卡方拟合优度检验

常见问题

二项检验用来做什么?: 用于检验样本中的成功比例是否与某个假设概率相符——例如,硬币是否公平、通过率是否达到目标,或选择某选项的人所占比例是否与基准不同。它适用于任意样本量,因为它使用的是精确的二项概率。
什么时候应使用二项检验而不是 z 检验?: 只要样本较小,或 p₀ 接近 0 或 1——即 np₀ 或 n(1 − p₀) 低于约 10,因为此时 z 检验的正态近似并不可靠——就应使用二项检验。样本较大时两者结果几乎相同,但精确检验从不出错,因此几乎没有理由偏好近似方法。
为什么双侧 p 值不能简单地取单侧 p 值的两倍?: 只有当零分布对称时,加倍才成立,而这只发生在 p₀ = 0.5 时。对于其他 p₀,分布是偏斜的,与您的结果同样不太可能的相反尾部结果并不是您所在尾部的镜像。标准做法是把所有“发生可能性不超过所观察结果”的结果的概率相加。
如何按 APA 格式报告二项检验?: 写明计数与检验方法、假设的概率、精确 p 值以及区间:150 次中的 61 次(p̂ = .41),与 p₀ = .30 比较的精确二项检验:p = .006,95% CI [.33, .49]。p 与 p̂ 用斜体,对不可能超过 1 的比例省略前导的 0。
应报告哪种置信区间?: Clopper–Pearson 区间与精确检验天然搭配,并保证至少达到标称覆盖率,但偏保守。Wilson 区间更短,覆盖率更接近标称水平,是报告比例的好选择。无论选哪一种,都要说明是哪一种。
二项检验有哪些假设?: 每次试验只有两种结果、各次试验相互独立、每次试验的成功概率相同,并且试验次数在事先就已固定。对小总体进行不放回抽样违反了独立性;此时应使用超几何分布作为正确的模型。