Calculateur de test binomial
Saisissez le nombre de succès, le nombre d'essais et la probabilité à tester, et obtenez la valeur p binomiale exacte pour les trois alternatives, l'intervalle de confiance de Clopper–Pearson, l'intervalle de Wilson pour comparaison, et le h de Cohen comme taille d'effet. La loi binomiale sous votre hypothèse nulle est tabulée pour voir quelles issues composent la valeur p. Gratuit, sans inscription.
Une valeur comprise entre 0 et 1, par exemple 0,5 ou 0,25.
Saisissez le nombre de succès, le nombre d'essais et p₀.
Comment utiliser le calculateur de test binomial
- 1. Saisissez les effectifs. Indiquez le nombre de succès (k) et le nombre d'essais (n). Un succès est l'issue que vous comptez : un pile, une bonne réponse, un répondant qui est d'accord.
- 2. Saisissez p₀. C'est la probabilité de succès sous votre hypothèse nulle : 0,5 pour une pièce équilibrée, 0,25 pour un choix parmi quatre options au hasard, ou une valeur de référence publiée.
- 3. Choisissez l'alternative et le niveau de confiance. Bilatérale demande si la probabilité réelle diffère de p₀ dans un sens ou dans l'autre ; les choix unilatéraux ne portent que sur un sens.
- 4. Lisez le résultat. La valeur p exacte, l'intervalle de confiance de la probabilité réelle et le tableau de la loi nulle apparaissent ci-dessous. Copiez la ligne APA une fois terminé.
Comment fonctionne le test binomial exact
Si chaque essai est indépendant et réussit avec la même probabilité p₀, le nombre de succès X suit une loi binomiale B(n, p₀) : P(X = j) = C(n, j) p₀j (1 − p₀)n−j. Les valeurs p unilatérales sont de simples queues — P(X ≤ k) pour « la probabilité est inférieure à p₀ » et P(X ≥ k) pour « supérieure ». Il n'y a aucune approximation : le test est valide quel que soit n, y compris pour de très petits échantillons et des probabilités proches de 0 ou de 1, cas où un test z fondé sur l'approximation normale n'est plus fiable.
La valeur p bilatérale demande de la prudence. Doubler la queue la plus petite n'est correct que si p₀ = 0,5, car alors la loi est symétrique. Ce calculateur suit la règle de binom.test de R et de binomtest de SciPy : il additionne la probabilité de chaque issue qui n'est pas plus probable que celle que vous avez observée. Le tableau marque ces issues pour que vous voyiez exactement ce qui a été compté. Pour une loi nulle symétrique, cela équivaut au double de la queue la plus petite.
L'intervalle de confiance de la probabilité réelle est l'intervalle de Clopper–Pearson (exact), construit à partir des quantiles de la loi bêta. Il garantit au moins la couverture annoncée, et penche donc vers le large. L'intervalle de score de Wilson est présenté à côté, car il est plus étroit et sa couverture est proche du niveau nominal. Pour une alternative unilatérale, l'intervalle exact est lui aussi unilatéral, comme dans R.
Exemple détaillé : tester un repère de 30 %
Cliquez sur Essayer un exemple pour charger une enquête dans laquelle 61 répondants sur 150 ont choisi une option qu'un repère publié donne à 30 % des personnes. La proportion observée est p̂ = 0,407 ; l'effectif attendu sous H₀ est de 45.
Test binomial exact, étape par étape
X ~ B(150 ; 0,3) ; P(X = 61) = 0,001418
Issues non plus probables que 61 : 0–29 et 61–150 → p bilatérale = 0,0056
Unilatérale : P(X ≥ 61) = 0,0035 ; P(X ≤ 61) = 0,998
IC de Clopper–Pearson à 95 % [0,327 ; 0,490] ; h de Cohen = 0,22
En style APA : davantage de répondants ont choisi l'option que le repère de 30 %, 61 sur 150 (p̂ = 0,41), test binomial exact contre p₀ = 0,30 : p = 0,006, IC à 95 % [0,33 ; 0,49]. L'intervalle exclut 0,30, comme le test le fait ; et h = 0,22 est un effet petit à moyen selon la règle empirique de Cohen (0,2 petit, 0,5 moyen, 0,8 grand).
Test binomial ou autre test ?
| Situation | Meilleur choix |
|---|---|
| Une proportion, quelle que soit la taille de l'échantillon | Test binomial exact |
| Grand échantillon, avec np₀ et n(1 − p₀) tous deux au moins égaux à 10 | Approximation normale (test z d'une proportion), qui concorde de très près |
| Deux proportions indépendantes | Test z de deux proportions, ou test exact de Fisher pour de petits effectifs |
| Résultats oui/non appariés | Test de McNemar, qui est un test binomial sur les paires discordantes |
| Effectifs répartis en trois catégories ou plus | Test du khi-deux d'adéquation |
Questions fréquentes
- À quoi sert le test binomial ?
- Il vérifie si la proportion de succès d'un échantillon est compatible avec une probabilité postulée — par exemple si une pièce est équilibrée, si un taux de réussite atteint un objectif, ou si la part de personnes qui choisissent une option diffère d'une référence. Il fonctionne quelle que soit la taille de l'échantillon, car il utilise des probabilités binomiales exactes.
- Quand utiliser le test binomial plutôt qu'un test z ?
- Utilisez-le dès que l'échantillon est petit ou que p₀ est proche de 0 ou de 1, c'est-à-dire lorsque np₀ ou n(1 − p₀) est inférieur à environ 10, car l'approximation normale du test z n'est alors pas fiable. Avec un grand échantillon, les deux donnent un résultat presque identique, mais le test exact n'est jamais faux : il n'y a guère de raison de préférer l'approximation.
- Pourquoi la valeur p bilatérale n'est-elle pas simplement le double de la valeur unilatérale ?
- Le doublement n'est valable que si la loi nulle est symétrique, ce qui se produit lorsque p₀ = 0,5. Pour toute autre valeur de p₀, la loi est asymétrique, et les issues de l'autre queue aussi improbables que la vôtre ne sont pas le reflet de la vôtre. La méthode standard additionne les probabilités de chaque issue qui n'est pas plus probable que celle observée.
- Comment rapporter un test binomial au format APA ?
- Indiquez les effectifs et le test, la probabilité postulée, la valeur p exacte et l'intervalle : 61 sur 150 (p̂ = 0,41), test binomial exact contre p₀ = 0,30 : p = 0,006, IC à 95 % [0,33 ; 0,49]. Mettez p et p̂ en italique, et vérifiez la règle de présentation des décimales de votre revue ou de votre consigne.
- Quel intervalle de confiance rapporter ?
- L'intervalle de Clopper–Pearson s'associe naturellement au test exact et garantit au moins la couverture nominale, mais il est conservateur. L'intervalle de Wilson est plus court et sa couverture est plus proche du niveau nominal ; c'est un bon choix pour rapporter une proportion. Quel que soit celui retenu, précisez-le.
- Quelles hypothèses fait le test binomial ?
- Que chaque essai n'a que deux issues, que les essais sont indépendants, que la probabilité de succès est la même à chaque essai, et que le nombre d'essais a été fixé à l'avance. Un tirage sans remise dans une petite population viole l'indépendance ; la loi hypergéométrique est alors le bon modèle.