Calculateur d'intervalle de confiance
Obtenez un intervalle de confiance pour une moyenne (t ou z), une proportion (Wald, score de Wilson et Clopper–Pearson exact) ou la différence entre deux moyennes (Welch), à tout niveau de confiance — avec la marge d'erreur, le détail du calcul et une interprétation correcte en une phrase. Gratuit, sans inscription.
Résultats
60,8373 – 68,7627
Intervalle de confiance à 95 %
64,8
Moyenne de l'échantillon (x̄)
± 3,9627
Marge d'erreur
1,92
Erreur type
2,0639
t* à 24 ddl
Détail du calcul
SE = s / √n = 9,6 / √25 = 1,92
x̄ ± t* × SE = 64,8 ± 2,0639 × 1,92 = 64,8 ± 3,9627
Nous avons confiance à 95 % que la moyenne de la population se situe entre 60,8373 et 68,7627. Le 95 % décrit la méthode, et non cet intervalle en particulier : si l'on tirait de nombreux échantillons et qu'on construisait un intervalle pour chacun, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne. Cet intervalle-ci la contient ou ne la contient pas.
Format APA
95 % CI [60,84 ; 68,76]
Comment utiliser le calculateur d'intervalle de confiance
- 1. Choisissez ce que vous estimez. Une moyenne unique, une proportion unique, ou la différence entre les moyennes de deux groupes indépendants.
- 2. Saisissez vos chiffres. Pour une moyenne, saisissez la moyenne, l'écart type et la taille de l'échantillon — ou collez les données brutes. Pour une proportion, saisissez le nombre de succès et la taille de l'échantillon. Pour deux moyennes, saisissez les statistiques résumées de chaque groupe.
- 3. Réglez le niveau de confiance. 95 % est la convention, mais tout niveau entre 0 et 100 convient : 90, 99 ou 97,5.
- 4. Lisez l'intervalle. Vous obtenez les bornes, la marge d'erreur, l'erreur type, la valeur critique, le détail du calcul, une interprétation en langage clair et l'intervalle au format APA, à copier.
Les formules
Chaque intervalle présenté ici a la même forme — estimation ± valeur critique × erreur type. Ils ne diffèrent que par l'erreur type et par la loi dont provient la valeur critique.
| Intervalle | Formule | Valeur critique issue de |
|---|---|---|
| Moyenne, σ inconnu | x̄ ± t* × s / √n | t à n − 1 ddl |
| Moyenne, σ connu | x̄ ± z* × σ / √n | Loi normale centrée réduite |
| Proportion (Wald) | p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) / n) | Loi normale centrée réduite |
| Proportion (score de Wilson) | (p̂ + z²/2n ± z √(p̂(1 − p̂)/n + z²/4n²)) / (1 + z²/n) | Loi normale centrée réduite |
| Proportion (Clopper–Pearson) | Quantiles de la loi bêta B(α/2 ; x, n − x + 1) et B(1 − α/2 ; x + 1, n − x) | Loi binomiale exacte |
| Deux moyennes (Welch) | (x̄₁ − x̄₂) ± t* × √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) | t à ddl de Welch–Satterthwaite |
Utilisez t dès que l'écart type provient de votre propre échantillon, ce qui arrive presque toujours. L'intervalle z ne sert que dans le cas rare où l'écart type de la population est réellement connu, comme pour un test standardisé dont σ est publié. Pour les proportions, l'intervalle du score de Wilson est le choix sûr par défaut : l'intervalle de Wald sous-couvre gravement lorsque n est petit ou que p̂ est proche de 0 ou de 1, et Clopper–Pearson garantit au moins la couverture annoncée, si bien qu'il est large.
Exemple détaillé et interprétation
Vingt-cinq étudiants obtiennent une moyenne de 64,8 avec un écart type de 9,6. L'erreur type vaut 9,6 / √25 = 1,92, la valeur critique à 95 % pour 24 ddl est t* = 2,0639, et la marge d'erreur vaut 2,0639 × 1,92 = 3,9627. L'intervalle va de 60,8373 à 68,7627 — au format APA, 95 % CI [60,84 ; 68,76].
La lecture correcte est : nous avons confiance à 95 % que la moyenne de la population se situe entre 60,84 et 68,76. Le 95 % décrit la méthode, et non cet intervalle en particulier : si vous répétiez l'étude de nombreuses fois, environ 95 % des intervalles construits ainsi contiendraient la vraie moyenne, et tout intervalle isolé la contient ou ne la contient pas. « Il y a 95 % de probabilité que la vraie moyenne se trouve dans cet intervalle » est l'erreur d'interprétation la plus fréquente.
Pour une proportion, 42 succès sur 120 donnent p̂ = 0,35 et un intervalle de Wilson à 95 % allant de 0,2705 à 0,4388 (Clopper–Pearson de 0,2652 à 0,4424 ; Wald de 0,2647 à 0,4353). Pour deux groupes — une moyenne de 78,2 (écart type 10,5, n = 30) contre 72,6 (écart type 12,8, n = 28) — la différence de 5,6 a un intervalle de Welch à 95 % allant de −0,59 à 11,79 pour 52,34 ddl. Il contient 0 : la différence n'est donc pas statistiquement significative au seuil α = 0,05, même si l'estimation ponctuelle paraît importante.
Erreurs courantes
- Utiliser z avec un écart type d'échantillon. Avec n = 25, z* = 1,96 à la place de t* = 2,064 rend l'intervalle environ 5 % trop étroit, et l'écart grandit à mesure que n diminue.
- Lire des intervalles qui se chevauchent comme « aucune différence ». Deux intervalles à 95 % peuvent se chevaucher alors que la différence entre les groupes reste significative. Calculez plutôt l'intervalle de la différence.
- Rapporter l'intervalle de Wald pour de petits échantillons. Avec 2 succès sur 25 essais, la borne inférieure de Wald passe sous zéro ; l'intervalle de Wilson, de 0,0222 à 0,2497, reste dans l'intervalle de 0 à 1.
- Croire qu'une plus grande confiance est toujours préférable. Une confiance plus élevée impose un intervalle plus large : les mêmes notes d'examen donnent de 59,43 à 70,17 à 99 %. Seul un échantillon plus grand rend un intervalle à la fois confiant et étroit.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance ?
- C'est une plage de valeurs plausibles pour un paramètre de population — une moyenne, une proportion, une différence — calculée à partir d'un échantillon. Il est construit de sorte que, sur de nombreux échantillons répétés, une part annoncée de ces intervalles (le niveau de confiance, souvent 95 %) contiendrait la vraie valeur. Sa largeur indique avec quelle précision l'échantillon fixe le paramètre.
- Comment calculer un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne ?
- Ajoutez et retranchez la valeur critique multipliée par l'erreur type : x̄ ± t* × s / √n, où t* est le 97,5e centile de la loi de Student à n − 1 ddl (2,064 pour n = 25). Le calculateur effectue chaque étape et affiche le détail, ou calcule la moyenne et l'écart type à partir de données brutes.
- Quelle différence entre intervalle de confiance et marge d'erreur ?
- La marge d'erreur est la moitié de la largeur de l'intervalle : valeur critique × erreur type. L'intervalle est l'estimation, plus ou moins cette marge. 42 succès sur 120 font 35 % avec une marge de Wald à 95 % de 8,5 points de pourcentage, si bien que l'intervalle va d'environ 26,5 % à 43,5 %.
- Faut-il utiliser l'intervalle de Wilson ou de Clopper–Pearson pour une proportion ?
- Wilson dans la plupart des cas : sa couverture reste proche du niveau annoncé, même pour de petits échantillons et des proportions extrêmes, et c'est l'intervalle que la plupart des statisticiens recommandent aujourd'hui à la place de Wald. Clopper–Pearson garantit au moins la couverture annoncée, il est donc plus large ; utilisez-le lorsqu'un protocole ou un régulateur demande un intervalle exact.
- Pourquoi un intervalle à 99 % est-il plus large qu'un intervalle à 95 % ?
- Pour capturer plus souvent la vraie valeur, l'intervalle doit couvrir davantage de terrain. Pour 24 ddl, la valeur critique de t passe de 2,064 à 2,797, si bien que la marge d'erreur augmente d'environ 36 %. Le seul moyen d'être plus confiant tout en restant aussi précis est un échantillon plus grand.
- Puis-je obtenir un intervalle de confiance pour des données appariées ?
- Oui. Calculez la différence de chaque paire (après − avant, par exemple), collez ces différences dans l'option des données brutes pour une moyenne, et le résultat est l'intervalle de confiance de la différence moyenne. L'option de deux moyennes suppose deux groupes indépendants : ne l'utilisez pas pour des mesures appariées.