Calcolatore dell'Intervallo di Confidenza
Ottieni un intervallo di confidenza per una media (t o z), una proporzione (Wald, Wilson score e Clopper–Pearson esatto) o la differenza tra due medie (Welch), a qualsiasi livello di confidenza — con il margine di errore, il calcolo e un'interpretazione corretta in una frase. Gratuito, senza registrazione.
Risultati
60,8373 – 68,7627
Intervallo di confidenza al 95%
64,8
Media campionaria (x̄)
± 3,9627
Margine di errore
1,92
Errore standard
2,0639
t* con 24 gradi di libertà
Come è stato calcolato
SE = s / √n = 9,6 / √25 = 1,92
x̄ ± t* × SE = 64,8 ± 2,0639 × 1,92 = 64,8 ± 3,9627
Con un livello di confidenza del 95%, la media della popolazione si trova tra 60,8373 e 68,7627. Il 95% descrive il metodo, non questo singolo intervallo: se si prendessero molti campioni e si costruisse un intervallo da ciascuno, circa il 95% di questi intervalli conterrebbe la vera media. Questo particolare intervallo o contiene la media o non la contiene.
Stile APA
95% CI [60,84; 68,76]
Come usare il calcolatore dell'intervallo di confidenza
- 1. Scegli che cosa stimare. Una singola media, una singola proporzione o la differenza tra le medie di due gruppi indipendenti.
- 2. Inserisci i tuoi dati. Per una media, scrivi media, deviazione standard e dimensione del campione — oppure incolla i dati grezzi. Per una proporzione, inserisci il numero di successi e la dimensione del campione. Per due medie, inserisci le statistiche riassuntive di ciascun gruppo.
- 3. Imposta il livello di confidenza. Il 95% è la convenzione, ma va bene qualsiasi livello tra 0 e 100: 90, 99 o 97,5.
- 4. Leggi l'intervallo. Ottieni i limiti, il margine di errore, l'errore standard, il valore critico, il calcolo, un'interpretazione in linguaggio semplice e l'intervallo in formato APA da copiare.
Le formule
Ogni intervallo qui ha la stessa forma — stima ± valore critico × errore standard — e differiscono solo per l'errore standard e per la distribuzione da cui deriva il valore critico.
| Intervallo | Formula | Valore critico da |
|---|---|---|
| Media, σ incognita | x̄ ± t* × s / √n | t con n − 1 gradi di libertà |
| Media, σ nota | x̄ ± z* × σ / √n | Normale standard |
| Proporzione (Wald) | p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) / n) | Normale standard |
| Proporzione (Wilson score) | (p̂ + z²/2n ± z √(p̂(1 − p̂)/n + z²/4n²)) / (1 + z²/n) | Normale standard |
| Proporzione (Clopper–Pearson) | Quantili della beta B(α/2; x, n − x + 1) e B(1 − α/2; x + 1, n − x) | Binomiale esatta |
| Due medie (Welch) | (x̄₁ − x̄₂) ± t* × √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) | t con i gradi di libertà di Welch–Satterthwaite |
Usa t ogni volta che la deviazione standard deriva dal tuo campione, cosa che accade quasi sempre. L'intervallo z serve nel raro caso in cui la deviazione standard della popolazione sia davvero nota, come per un test standardizzato con un σ pubblicato. Per le proporzioni, l'intervallo di Wilson score è la scelta sicura: l'intervallo di Wald sottostima molto la copertura quando n è piccolo o p̂ è vicino a 0 o a 1, e Clopper–Pearson garantisce almeno la copertura dichiarata, quindi risulta ampio.
Esempio svolto e interpretazione
Venticinque studenti ottengono una media di 64,8 con una deviazione standard di 9,6. L'errore standard è 9,6 / √25 = 1,92, il valore critico per il 95% di confidenza con 24 gradi di libertà è t* = 2,0639, e il margine di errore è 2,0639 × 1,92 = 3,9627. L'intervallo va da 60,8373 a 68,7627 — in formato APA, 95% CI [60,84; 68,76].
La lettura corretta è: con un livello di confidenza del 95%, la media della popolazione si trova tra 60,84 e 68,76. Il 95% appartiene al metodo, non a questo intervallo: se ripetessi lo studio molte volte, circa il 95% degli intervalli costruiti in questo modo conterrebbe la vera media, e ogni singolo intervallo o la contiene o non la contiene. «C'è una probabilità del 95% che la vera media stia in questo intervallo» è l'errore di lettura più comune.
Per una proporzione, 42 successi su 120 danno p̂ = 0,35 e un intervallo di Wilson al 95% da 0,2705 a 0,4388 (Clopper–Pearson da 0,2652 a 0,4424; Wald da 0,2647 a 0,4353). Per due gruppi — una media di 78,2 (DS 10,5, n = 30) contro 72,6 (DS 12,8, n = 28) — la differenza di 5,6 ha un intervallo di Welch al 95% da −0,59 a 11,79 con 52,34 gradi di libertà. Include 0, quindi la differenza non è statisticamente significativa con α = 0,05, anche se la stima puntuale sembra considerevole.
Errori comuni
- Usare z con una deviazione standard campionaria. Con n = 25, usare z* = 1,96 al posto di t* = 2,064 rende l'intervallo circa il 5% più stretto, e lo scarto cresce al diminuire di n.
- Leggere intervalli sovrapposti come «nessuna differenza». Due intervalli al 95% possono sovrapporsi mentre la differenza tra i gruppi è ancora significativa. Calcola invece l'intervallo per la differenza.
- Riportare l'intervallo di Wald per campioni piccoli. Con 2 successi su 25 prove il limite inferiore di Wald scende sotto zero; l'intervallo di Wilson, da 0,0222 a 0,2497, resta tra 0 e 1.
- Pensare che più confidenza sia sempre meglio. Una confidenza più alta richiede un intervallo più ampio: gli stessi punteggi d'esame danno da 59,43 a 70,17 al 99%. Solo un campione più grande rende un intervallo al tempo stesso confidente e stretto.
Domande frequenti
- Che cos'è un intervallo di confidenza?
- È un intervallo di valori plausibili per un parametro della popolazione — una media, una proporzione, una differenza — calcolato dal campione. È costruito in modo che, ripetendo il campionamento molte volte, una quota dichiarata di tali intervalli (il livello di confidenza, spesso il 95%) conterrebbe il valore vero. La sua ampiezza mostra quanto precisamente il campione definisce il parametro.
- Come si calcola un intervallo di confidenza al 95% per una media?
- Si aggiunge e si sottrae il valore critico moltiplicato per l'errore standard: x̄ ± t* × s / √n, dove t* è il 97,5° percentile della distribuzione t con n − 1 gradi di libertà (2,064 per n = 25). Il calcolatore esegue ogni passaggio e mostra il calcolo, oppure calcola media e DS a partire dai dati grezzi.
- Qual è la differenza tra intervallo di confidenza e margine di errore?
- Il margine di errore è metà dell'ampiezza dell'intervallo: valore critico × errore standard. L'intervallo è la stima più e meno quel margine. 42 successi su 120 sono il 35% con un margine di Wald al 95% di 8,5 punti percentuali, quindi l'intervallo va da circa il 26,5% al 43,5%.
- Per una proporzione conviene l'intervallo di Wilson o quello di Clopper–Pearson?
- Wilson per la maggior parte degli scopi: la sua copertura resta vicina al livello dichiarato anche con campioni piccoli e proporzioni estreme, ed è l'intervallo che oggi molti statistici raccomandano al posto di Wald. Clopper–Pearson garantisce almeno la copertura dichiarata, quindi è più ampio; usalo quando un protocollo o un ente regolatore richiede un intervallo esatto.
- Perché un intervallo al 99% è più ampio di uno al 95%?
- Per catturare più spesso il valore vero, l'intervallo deve coprire più terreno. Per 24 gradi di libertà il t critico sale da 2,064 a 2,797, quindi il margine di errore cresce di circa il 36%. L'unico modo per essere più confidenti e altrettanto precisi è un campione più grande.
- Posso calcolare un intervallo di confidenza per dati appaiati?
- Sì. Sottrai ogni coppia (dopo − prima, per esempio), incolla le differenze nell'opzione dei dati grezzi per una media, e il risultato è l'intervallo di confidenza per la differenza media. L'opzione per due medie presuppone due gruppi indipendenti, quindi non usarla per misure appaiate.