Calcolatore della distribuzione binomiale

Risultati

np = 10 e n(1 − p) = 10 sono entrambi almeno 10, quindi l'approssimazione normale N(10, 2,2361²) è ragionevole. Con la correzione di continuità dà P(X ≤ 12) ≈ 0,8682, contro il valore esatto 0,8684.

Come usare il Calcolatore della distribuzione binomiale

1. 1. Inserisci il numero di prove. n è quante volte si ripete l'esperimento: 20 lanci di moneta, 50 pazienti, 10 domande.
2. 2. Inserisci la probabilità di successo. p è la probabilità che una singola prova riesca, tra 0 e 1 — 0,5 per una moneta equa, 0,25 per indovinare tra quattro opzioni.
3. 3. Inserisci k, e facoltativamente un secondo valore. k è il numero di successi su cui chiedi. Compila la seconda casella per ottenere anche la probabilità di un intervallo.
4. 4. Leggi le probabilità. Ottieni P(X = k) e tutte e quattro le versioni cumulative, media, varianza e deviazione standard, una nota sull'approssimazione normale e — per n fino a 200 — la tabella completa e un grafico a barre.

Che cosa modella la distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale conta i successi in un numero fisso di prove indipendenti, ciascuna con la stessa probabilità di successo: testa in 20 lanci di moneta, risposte giuste in un test a risposta multipla, o pazienti che rispondono a una terapia. Devono valere quattro condizioni — un n fisso, due esiti per prova, un p costante e prove che non si influenzano a vicenda.

La probabilità di esattamente k successi è P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, dove C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) conta i modi di scegliere quali prove riescono. La media è np e la varianza np(1 − p). Il calcolatore valuta le probabilità cumulative in modo esatto tramite la funzione beta incompleta regolarizzata, quindi anche P(X ≥ 95) in 100 lanci equi — circa 6,26 × 10⁻²³ — esce corretta invece che zero.

Poiché la binomiale è discreta, «almeno 12» e «più di 12» sono domande diverse con risposte diverse. Trasformare la formulazione in una di queste sei forme è di solito la parte più difficile di un problema binomiale.

Esempio svolto: lanci di moneta e risposte a caso

Lancia una moneta equa 20 volte (n = 20, p = 0,5). La probabilità di esattamente 12 teste è C(20, 12) × 0,5²⁰ = 125.970 / 1.048.576 = 0,1201. La probabilità di 12 o più è P(X ≥ 12) = 0,2517, e quella di al massimo 12 è 0,8684. Tra 8 e 12 teste, estremi inclusi, P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. La media è 10, la varianza 5 e la deviazione standard 2,2361.

Ora un test a risposta multipla di 20 domande con quattro opzioni ciascuna, risposto a puro caso (n = 20, p = 0,25). Il punteggio atteso è 5, e la probabilità di superare il test con 10 o più risposte giuste è P(X ≥ 10) = 0,0139 — circa 1 su 72.

Quando funziona l'approssimazione normale

Per n grandi la binomiale somiglia a una normale, con media np e deviazione standard √(np(1 − p)). La regola usuale è approssimare solo quando np ≥ 10 e n(1 − p) ≥ 10 — alcuni manuali accettano 5 — e applicare una correzione di continuità di 0,5. Per l'esempio della moneta entrambi i conteggi valgono esattamente 10, e l'approssimazione dà P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682, contro il valore esatto 0,8684. Con i valori esatti a un clic, l'approssimazione oggi serve soprattutto come strumento didattico.

Domande frequenti

Come si calcola una probabilità binomiale?

Usa P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}: il numero di modi di collocare k successi tra n prove, moltiplicato per la probabilità di una qualsiasi di queste sequenze. Le probabilità cumulative sommano questi termini. Inserisci sopra n, p e k e il calcolatore li valuta tutti insieme.

Qual è la differenza tra P(X < k) e P(X ≤ k)?

P(X ≤ k) include k e P(X < k) no, quindi P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Per 20 lanci equi, P(X ≤ 12) = 0,8684 mentre P(X < 12) = 0,7483 — la differenza è P(X = 12) = 0,1201.

Quali sono le condizioni per una distribuzione binomiale?

Un numero fisso di prove, due possibili esiti per ciascuna, la stessa probabilità di successo ogni volta e prove indipendenti. Estrarre senza reimmissione da una popolazione piccola rompe la condizione di p costante, quindi lì usa invece la distribuzione ipergeometrica.

Quali sono media e deviazione standard di una distribuzione binomiale?

La media è np, la varianza np(1 − p) e la deviazione standard √(np(1 − p)). Per n = 20 e p = 0,25 la media è 5, la varianza 3,75 e la deviazione standard 1,9365.

Il calcolatore funziona con n grandi?

Sì. n può arrivare a milioni, perché le probabilità cumulative provengono dalla funzione beta incompleta invece che dalla somma di migliaia di termini, quindi la precisione non cala al crescere di n. La tabella e il grafico a barre sono disegnati per n fino a 200, dove restano leggibili.

Quando dovrei usare invece una distribuzione di Poisson o normale?

Usa la Poisson per contare eventi in un intervallo quando non c'è un numero fisso di prove; approssima anche la binomiale quando n è grande e p piccolo. Usa l'approssimazione normale solo come verifica, e solo quando np e n(1 − p) sono entrambi almeno 10.