如何计算二项概率?

使用 P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k:把 k 次成功安排在 n 次试验中的方式数,乘以任一此类序列的概率。累积概率则是这些项相加。在上方输入 n、p 和 k,计算器即可一次算出所有结果。

P(X < k) 与 P(X ≤ k) 有何区别?

P(X ≤ k) 包含 k,而 P(X < k) 不包含,因此 P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k)。对于 20 次公平抛硬币,P(X ≤ 12) = 0.8684,而 P(X < 12) = 0.7483——二者之差即 P(X = 12) = 0.1201。

二项分布需要满足哪些条件?

试验次数固定、每次只有两种可能的结果、每次成功的概率相同,且各次试验相互独立。从小总体中不放回地抽样会破坏 p 恒定的条件,此时应改用超几何分布。

二项分布的均值和标准差是多少?

均值为 np,方差为 np(1 − p),标准差为 √(np(1 − p))。对于 n = 20 且 p = 0.25,均值为 5,方差为 3.75,标准差为 1.9365。

此计算器能处理很大的 n 吗?

能。n 可以达到数百万,因为累积概率来自不完全贝塔函数,而不是把成千上万项相加,因此精度不会随 n 增大而下降。表格和条形图在 n 最多为 200 时绘制,此时依然清晰易读。

何时应改用泊松分布或正态分布?

当计数的是某个区间内的事件、且没有固定的试验次数时,使用泊松分布;当 n 较大而 p 较小时,它也可以近似二项分布。正态近似仅作为交叉检验使用,且只有当 np 与 n(1 − p) 都至少为 10 时才适用。

二项分布计算器

输入试验次数 n、成功概率 p 和成功次数 k,即可得到所有二项概率——恰好 k 次、至多、少于、至少、多于,或某个区间——并附带均值、方差、完整的概率表和条形图。免费,无需注册。

试验次数 (n)

每次试验成功的概率 (p)

成功次数 (k)

区间的上限(可选)

在结果中加入 P(k ≤ X ≤ 此值)。

结果

概率	含义	数值
P(X = 12)	恰好 12	0.1201
P(X ≤ 12)	至多 12	0.8684
P(X < 12)	少于 12	0.7483
P(X ≥ 12)	至少 12	0.2517
P(X > 12)	多于 12	0.1316

均值 (np)

方差 (np(1 − p))

2.2361

标准差

np = 10 与 n(1 − p) = 10 均至少为 10,因此正态近似 N(10, 2.2361²) 是合理的。加上连续性修正后,它给出 P(X ≤ 12) ≈ 0.8682,而精确值为 0.8684。

概率分布

n = 20、p = 0.5 的二项概率
k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X ≥ k)
0	9.54 × 10⁻⁷	9.54 × 10⁻⁷	1.0000
1	1.91 × 10⁻⁵	2.00 × 10⁻⁵	1.0000
2	0.0002	0.0002	1.0000
3	0.0011	0.0013	0.9998
4	0.0046	0.0059	0.9987
5	0.0148	0.0207	0.9941
6	0.0370	0.0577	0.9793
7	0.0739	0.1316	0.9423
8	0.1201	0.2517	0.8684
9	0.1602	0.4119	0.7483
10	0.1762	0.5881	0.5881
11	0.1602	0.7483	0.4119
12	0.1201	0.8684	0.2517
13	0.0739	0.9423	0.1316
14	0.0370	0.9793	0.0577
15	0.0148	0.9941	0.0207
16	0.0046	0.9987	0.0059
17	0.0011	0.9998	0.0013
18	0.0002	1.0000	0.0002
19	1.91 × 10⁻⁵	1.0000	2.00 × 10⁻⁵
20	9.54 × 10⁻⁷	1.0000	9.54 × 10⁻⁷

如何使用二项分布计算器

1. 输入试验次数。 n 是实验进行的次数:抛 20 次硬币、50 名患者、10 道题。
2. 输入成功概率。 p 是一次试验成功的概率,介于 0 和 1 之间——公平硬币为 0.5,四选一的瞎猜为 0.25。
3. 输入 k,并可选填第二个值。 k 是您所关心的成功次数。填写第二个框,即可同时得到一个区间的概率。
4. 阅读概率。 您会得到 P(X = k) 以及四种累积概率、均值、方差与标准差、关于正态近似的说明;当 n 最多为 200 时,还会显示完整的表格和条形图。

二项分布描述什么

二项分布统计的是在固定次数的独立试验中成功的次数,每次试验成功的概率都相同:20 次抛硬币中出现正面的次数、多项选择题中答对的题数,或对某种治疗有反应的患者数。成立的四个条件是:n 固定、每次试验只有两种结果、p 恒定,且各次试验互不影响。

恰好 k 次成功的概率为 P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k},其中 C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) 表示选出哪些试验成功的方式数。均值为 np,方差为 np(1 − p)。计算器通过正则化不完全贝塔函数精确计算累积概率,因此即便是 100 次公平抛掷中的 P(X ≥ 95)(约 6.26 × 10⁻²³),也能算准而不会得到零。

把问题转化为概率
表述	记号	是否包含 k?
恰好 k	P(X = k)	只含 k
至多 k,不超过 k	P(X ≤ k)	是
少于 k,小于 k	P(X < k) = P(X ≤ k − 1)	否
至少 k,k 或更多	P(X ≥ k)	是
多于 k,大于 k	P(X > k) = P(X ≥ k + 1)	否
介于 a 与 b 之间(含两端)	P(a ≤ X ≤ b)	两端都包含

由于二项分布是离散的,“至少 12 次”与“多于 12 次”是两个不同的问题,答案也不同。把措辞转化为这六种形式之一,通常是二项问题中最难的部分。

示例:抛硬币与瞎猜

公平硬币抛 20 次(n = 20,p = 0.5)。恰好出现 12 次正面的概率为 C(20, 12) × 0.5²⁰ = 125,970 / 1,048,576 = 0.1201。出现 12 次或更多的概率为 P(X ≥ 12) = 0.2517,至多 12 次的概率为 0.8684。正面出现 8 至 12 次(含两端)的概率为 P(8 ≤ X ≤ 12) = 0.7368。均值为 10,方差为 5,标准差为 2.2361。

再看一份 20 题的四选一多项选择题,全凭瞎猜作答(n = 20,p = 0.25)。期望得分为 5,答对 10 题或更多的及格概率为 P(X ≥ 10) = 0.0139——约为 72 分之 1。

何时可以使用正态近似

当 n 较大时,二项分布近似于正态分布,均值为 np,标准差为 √(np(1 − p))。常用的规则是仅当 np ≥ 10 且 n(1 − p) ≥ 10 时才进行近似(有些教材接受 5),并应用 0.5 的连续性修正。对于抛硬币的例子,两个计数都恰好为 10,近似给出 P(X ≤ 12) ≈ Φ((12.5 − 10) / 2.2361) = 0.8682,而精确值为 0.8684。既然精确值触手可及,近似主要成了一种教学工具。

常见问题

如何计算二项概率?: 使用 P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}:把 k 次成功安排在 n 次试验中的方式数,乘以任一此类序列的概率。累积概率则是这些项相加。在上方输入 n、p 和 k,计算器即可一次算出所有结果。
P(X < k) 与 P(X ≤ k) 有何区别?: P(X ≤ k) 包含 k,而 P(X < k) 不包含,因此 P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k)。对于 20 次公平抛硬币,P(X ≤ 12) = 0.8684,而 P(X < 12) = 0.7483——二者之差即 P(X = 12) = 0.1201。
二项分布需要满足哪些条件?: 试验次数固定、每次只有两种可能的结果、每次成功的概率相同,且各次试验相互独立。从小总体中不放回地抽样会破坏 p 恒定的条件,此时应改用超几何分布。
二项分布的均值和标准差是多少?: 均值为 np,方差为 np(1 − p),标准差为 √(np(1 − p))。对于 n = 20 且 p = 0.25,均值为 5,方差为 3.75,标准差为 1.9365。
此计算器能处理很大的 n 吗?: 能。n 可以达到数百万,因为累积概率来自不完全贝塔函数,而不是把成千上万项相加,因此精度不会随 n 增大而下降。表格和条形图在 n 最多为 200 时绘制,此时依然清晰易读。
何时应改用泊松分布或正态分布?: 当计数的是某个区间内的事件、且没有固定的试验次数时,使用泊松分布;当 n 较大而 p 较小时,它也可以近似二项分布。正态近似仅作为交叉检验使用,且只有当 np 与 n(1 − p) 都至少为 10 时才适用。