协方差计算器

如何使用协方差计算器

1. 1. 输入数据对。 将 x 值和 y 值分别输入为两列列表,顺序必须一一对应;也可以切换为每行一个“x, y”数据对,从电子表格复制两列数据时尤其方便。
2. 2. 检查数量。 两个列表的数值个数必须相同;每个 x 与位置相同的 y 配对。
3. 3. 读取两种协方差。 当您的数据是来自更大总体的样本时(研究中的常见情况),使用样本协方差;当您的数据对就是整个总体时,使用总体协方差。
4. 4. 跟随计算表。 每一行显示两个与均值的偏差及其乘积;所有乘积之和即为公式的分子。

协方差公式

协方差衡量两个变量是否同向变动。对每一对数据,计算 x 偏离其均值的程度和 y 偏离其均值的程度,再将二者相乘。当两者同时高于或同时低于各自的均值时乘积为正;当一个高于均值而另一个低于均值时乘积为负。对这些乘积取平均,即得协方差:

样本公式除以 n − 1,理由与样本方差相同:样本均值的偏差会略微偏小,而 n − 1 可以校正这一偏差。事实上,一个变量与自身的协方差就是它的方差。

示例

五名学生报告了复习时长(x)和考试成绩(y)。均值为 x̄ = 6 小时,ȳ = 75 分:

样本协方差 = 110 ÷ (5 − 1) = 27.5;总体协方差 = 110 ÷ 5 = 22。所有乘积都为零或正,因此符号明确为正:复习更多的学生成绩也更高。用协方差除以 x 的方差 10,还可以得到回归直线的斜率——每多复习一小时,成绩约增加 2.75 分。

为什么协方差的大小难以解释

协方差以 x 的单位乘以 y 的单位来计量——在这里是“小时·分”。如果把复习时间改用分钟记录,协方差会从 27.5 跃升至 1,650,尽管这种关系丝毫未变。因此协方差的符号有意义,但其大小无法说明关系的强弱,而且不同单位的研究之间无法比较协方差。

相关系数通过除以两个标准差消除了这一问题:r = s_xy ÷ (s_x × s_y) = 27.5 ÷ (3.1623 × 8.86) ≈ 0.98,无论以小时还是分钟计量都是如此。当您想说明两个变量 关联程度有多强 时,应报告 r——相关系数计算器 会给出 r 并附解读;而协方差则用于那些需要它的公式,例如回归斜率和投资组合方差。

常见问题

协方差说明了什么?

它说明两个变量之间线性关系的方向。正协方差表示两者倾向于同时上升,负协方差表示一个变量上升时另一个倾向于下降,接近零的值则表示没有线性规律。协方差的大小取决于单位,因此它不能衡量关系的强弱。

协方差与相关系数有什么区别?

相关系数是协方差除以两个标准差后的结果,因而没有单位,并被限制在 −1 与 +1 之间。协方差与相关系数符号相同,但数值可以是任意大小,因此只有相关系数才能跨数据集比较,或用来判断关系的强弱。

应该使用样本协方差还是总体协方差?

当您的数据是样本、并希望据此估计更大总体中的关系时,使用样本协方差(除以 n − 1)——这在研究中几乎总是如此。只有当您掌握了整个总体的全部成员时,才使用总体协方差(除以 n)。Excel 中的 COVARIANCE.S 和 COVARIANCE.P 也是同样的区分。

协方差可以为负数吗?

可以。负协方差表示一个变量的高于均值的取值往往与另一个变量的低于均值的取值同时出现——例如屏幕使用时间与睡眠时间。它的大小没有上限或下限。

协方差为零是否意味着两个变量独立?

不一定。协方差为零仅表示没有线性关系。变量之间可以存在曲线关系而协方差恰好为零——例如在关于零对称的区间内 y = x²,就是典型例子。独立的变量则必定协方差为零。

协方差与回归斜率有什么关系?

y 对 x 的最小二乘斜率,等于 x 与 y 的协方差除以 x 的方差:b = 协方差(x, y) ÷ 方差(x)。在示例中即 27.5 ÷ 10 = 2.75 分每小时,与线性回归计算器对这些数据给出的斜率相同。