Калькулятор ковариации

Как пользоваться калькулятором ковариации

1. 1. Введите пары. Введите значения x и значения y двумя списками в одном порядке или переключитесь на «x, y» — одну пару в строке, удобно при вставке двух столбцов из таблицы.
2. 2. Проверьте количество. Оба списка должны содержать одинаковое число значений; каждый x соединяется с y на той же позиции.
3. 3. Читайте обе ковариации. Используйте выборочную ковариацию для выборки из большей совокупности — это обычный случай в исследованиях, — а генеральную, когда ваши пары составляют всю совокупность.
4. 4. Следите за таблицей. Каждая строка показывает два отклонения от средних и их произведение; сумма произведений равна числителю формулы.

Формула ковариации

Ковариация показывает, движутся ли две величины вместе. Для каждой пары берут, насколько x отстоит от своего среднего, и насколько y отстоит от своего среднего, и перемножают эти отклонения. Произведение положительно, когда обе величины выше средних или обе ниже, и отрицательно, когда одна выше, а другая ниже. Усреднение произведений даёт ковариацию:

Выборочная версия делит на n − 1 по той же причине, по которой делит выборочная дисперсия: отклонения от выборочных средних получаются немного меньше, и n − 1 исправляет это смещение. На самом деле ковариация величины с самой собой — это её дисперсия.

Пример

Пять студентов сообщают о часах повторения (x) и баллах за экзамен (y). Средние равны x̄ = 6 часов и ȳ = 75 баллов:

Выборочная ковариация = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; генеральная ковариация = 110 ÷ 5 = 22. Все произведения нулевые или положительные, поэтому знак явно положительный: студенты, которые повторяли больше, получили более высокие баллы. Деление ковариации на дисперсию x, равную 10, также даёт наклон линии регрессии — 2,75 балла за каждый дополнительный час.

Почему величину ковариации трудно интерпретировать

Ковариация измеряется в единицах x, умноженных на единицы y, — здесь в единицах «час × балл». Если записать время повторения в минутах, а не в часах, ковариация вырастет с 27,5 до 1 650, хотя сама связь не изменится. Поэтому знак ковариации имеет смысл, но её величина не говорит, сильна связь или слаба, и ковариации из исследований с разными единицами нельзя сравнивать.

Корреляция решает это, деля на оба стандартных отклонения: r = s_xy ÷ (s_x × s_y) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, в часах или в минутах. Когда вы хотите сказать, насколько сильно связаны две величины, сообщайте r — Калькулятор корреляции даёт его с интерпретацией, — а ковариацию оставляйте для формул, которым она нужна, например для наклонов регрессии и дисперсии портфеля.

Часто задаваемые вопросы

Что говорит ковариация?

Она показывает направление линейной связи двух величин. Положительная ковариация означает, что величины, как правило, растут вместе, отрицательная — что одна обычно падает, когда другая растёт, а значение около нуля означает отсутствие линейной закономерности. Её величина зависит от единиц, поэтому она не измеряет силу связи.

В чём разница между ковариацией и корреляцией?

Корреляция — это ковариация, делённая на два стандартных отклонения, что делает её безразмерной и заключает между −1 и +1. Ковариация имеет тот же знак, что и корреляция, но может быть любой величины, поэтому сравнивать между наборами данных и оценивать как слабую или сильную можно только корреляцию.

Использовать выборочную или генеральную ковариацию?

Выборочную, деля на n − 1, когда ваши данные — выборка и вы хотите оценить связь в большей совокупности, — почти всегда так и бывает в исследованиях. Генеральную, деля на n, только когда у вас есть вся совокупность целиком. Функции Excel COVARIANCE.S и COVARIANCE.P делают то же разделение.

Может ли ковариация быть отрицательной?

Да. Отрицательная ковариация означает, что значения одной величины выше среднего обычно встречаются вместе со значениями другой ниже среднего — например, часы экранного времени и часы сна. Ограничений на её величину ни сверху, ни снизу нет.

Означает ли нулевая ковариация, что величины независимы?

Нет. Нулевая ковариация означает отсутствие линейной связи. Величины могут быть сильно связаны нелинейно — y = x² на отрезке, симметричном относительно нуля, — и при этом их ковариация равна нулю точно. Независимые величины всегда имеют нулевую ковариацию.

Как ковариация связана с наклоном регрессии?

Наклон наименьших квадратов y по x равен ковариации, делённой на дисперсию x: b = ковариация(x, y) ÷ дисперсия(x). В рассмотренном примере это 27,5 ÷ 10 = 2,75 балла в час — тот же наклон, который показывает Калькулятор линейной регрессии для этих данных.