सहप्रसरण कैलकुलेटर
युग्मित x और y मान चिपकाएँ और नमूना सहप्रसरण (n − 1 से भाग) तथा जनसंख्या सहप्रसरण (n से भाग) पाएँ, हर विचलन और गुणनफल की तालिका के साथ। कैलकुलेटर समझाता है कि चिह्न आपको क्या बताता है, सहप्रसरण का आकार अकेले से पढ़ना क्यों कठिन है, और साथ में Pearson's r भी देता है।
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सहप्रसरण निकालने के लिए कम से कम दो (x, y) युग्म दर्ज करें।
सहप्रसरण कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. युग्म दर्ज करें। x मानों और y मानों को एक ही क्रम वाली दो सूचियों के रूप में लिखें, या “x, y” युग्म प्रति पंक्ति एक के रूप में बदलें — स्प्रेडशीट से दो स्तंभ चिपकाने के लिए उपयोगी।
- 2. गिनती जाँचें। दोनों सूचियों में मानों की संख्या समान होनी चाहिए; हर x उसी स्थान पर के y से युग्मित होता है।
- 3. दोनों सहप्रसरण पढ़ें। बड़ी जनसंख्या के नमूने के लिए नमूना सहप्रसरण का उपयोग करें — शोध में आम स्थिति — और जब आपके युग्म पूरी जनसंख्या हों, तब जनसंख्या सहप्रसरण का।
- 4. तालिका का अनुसरण करें। हर पंक्ति में माध्यों से दोनों विचलन और उनका गुणनफल दिखता है; गुणनफलों का योग सूत्र का अंश देता है।
सहप्रसरण का सूत्र
सहप्रसरण मापता है कि दो चर साथ-साथ चलते हैं या नहीं। हर युग्म के लिए देखें कि x अपने माध्य से कितना दूर है और y अपने माध्य से कितना दूर है, और उन्हें गुणा करें। गुणनफल धनात्मक होता है जब दोनों अपने माध्यों से ऊपर हों या दोनों नीचे, और ऋणात्मक जब एक ऊपर और दूसरा नीचे हो। इन गुणनफलों का औसत सहप्रसरण देता है:
नमूना
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
जनसंख्या
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
नमूना वाला रूप n − 1 से भाग देता है, उसी कारण से जिससे नमूना प्रसरण: नमूना माध्यों से विचलन थोड़े छोटे आते हैं, और n − 1 उस पूर्वाग्रह को ठीक करता है। वास्तव में, किसी चर का स्वयं के साथ सहप्रसरण उसका प्रसरण होता है।
हल किया गया उदाहरण
पाँच छात्र संशोधन के घंटे (x) और परीक्षा के अंक (y) बताते हैं। माध्य हैं x̄ = 6 घंटे और ȳ = 75 अंक:
| x (घंटे) | y (अंक) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
गुणनफलों का योग: 110।
नमूना सहप्रसरण = 110 ÷ (5 − 1) = 27.5; जनसंख्या सहप्रसरण = 110 ÷ 5 = 22। हर गुणनफल शून्य या धनात्मक है, इसलिए चिह्न स्पष्ट रूप से धनात्मक है: जिन छात्रों ने अधिक संशोधन किया उनके अंक भी अधिक थे। x के प्रसरण, 10, से सहप्रसरण को भाग देने पर समाश्रयण रेखा की ढलान भी मिलती है — प्रति अतिरिक्त घंटे 2.75 अंक।
सहप्रसरण के आकार की व्याख्या कठिन क्यों है
सहप्रसरण x की इकाइयों गुना y की इकाइयों में मापा जाता है — यहाँ घंटे-अंक में। यदि संशोधन का समय घंटों के बजाय मिनटों में लिखें, तो सहप्रसरण 27.5 से बढ़कर 1,650 हो जाता है, जबकि संबंध में कुछ नहीं बदला। इसलिए सहप्रसरण का चिह्न अर्थपूर्ण है, पर उसका आकार यह नहीं बता सकता कि संबंध मज़बूत है या कमज़ोर, और आप अलग-अलग इकाइयों वाले अध्ययनों के सहप्रसरण की तुलना नहीं कर सकते।
सहसंबंध दोनों मानक विचलनों से भाग देकर इसे ठीक करता है: r = sxy ÷ (sx × sy) = 27.5 ÷ (3.1623 × 8.86) ≈ 0.98, घंटों में या मिनटों में। जब आप बताना चाहें कि दो चर कितनी मज़बूती से जुड़े हैं, तो r दें — सहसंबंध कैलकुलेटर उसे व्याख्या के साथ देता है — और सहप्रसरण को उन सूत्रों के लिए रखें जिन्हें उसकी ज़रूरत है, जैसे समाश्रयण की ढलान और पोर्टफ़ोलियो प्रसरण।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- सहप्रसरण क्या बताता है?
- यह दो चरों के बीच रैखिक संबंध की दिशा बताता है। धनात्मक सहप्रसरण का अर्थ है कि वे साथ बढ़ते हैं, ऋणात्मक का अर्थ है कि एक घटता है जब दूसरा बढ़ता है, और शून्य के पास का मान कोई रैखिक पैटर्न न होने का संकेत है। इसका आकार इकाइयों पर निर्भर करता है, इसलिए यह शक्ति नहीं मापता।
- सहप्रसरण और सहसंबंध में क्या अंतर है?
- सहसंबंध दोनों मानक विचलनों से भाग दिया गया सहप्रसरण है, जिससे वह इकाई-रहित हो जाता है और −1 और +1 के बीच सीमित रहता है। सहप्रसरण का चिह्न सहसंबंध जैसा होता है पर उसका आकार कुछ भी हो सकता है, इसलिए केवल सहसंबंध ही डेटासेटों के बीच तुलना योग्य है या कमज़ोर और मज़बूत के रूप में पढ़ा जा सकता है।
- नमूना या जनसंख्या सहप्रसरण में से किसका उपयोग करें?
- नमूना सहप्रसरण, जो n − 1 से भाग देता है, तब उपयोग करें जब आपका डेटा एक नमूना हो और आप बड़ी जनसंख्या में संबंध का अनुमान लगाना चाहें — शोध में लगभग हमेशा यही स्थिति होती है। जनसंख्या सहप्रसरण, जो n से भाग देता है, केवल तब उपयोग करें जब आपके पास जनसंख्या का हर सदस्य हो। Excel के COVARIANCE.S और COVARIANCE.P यही अंतर बनाते हैं।
- क्या सहप्रसरण ऋणात्मक हो सकता है?
- हाँ। ऋणात्मक सहप्रसरण का अर्थ है कि एक चर के औसत से ऊपर के मान दूसरे चर के औसत से नीचे के मानों के साथ आते हैं — जैसे स्क्रीन-समय और नींद के घंटे। इसके आकार की कोई निचली या ऊपरी सीमा नहीं है।
- क्या शून्य सहप्रसरण का अर्थ है कि चर स्वतंत्र हैं?
- नहीं। शून्य सहप्रसरण का अर्थ है कोई रैखिक संबंध नहीं। चर घुमावदार ढंग से गहराई से जुड़े हो सकते हैं और फिर भी उनका सहप्रसरण ठीक शून्य हो — शून्य के सममित किसी परास पर y = x² इसका क्लासिक उदाहरण है। स्वतंत्र चरों का सहप्रसरण हमेशा शून्य होता है।
- सहप्रसरण का समाश्रयण ढलान से क्या संबंध है?
- x पर y की न्यूनतम-वर्ग ढलान, x के प्रसरण से भाग दिया गया सहप्रसरण है: b = सहप्रसरण(x, y) ÷ प्रसरण(x)। कार्य उदाहरण में यह 27.5 ÷ 10 = 2.75 अंक प्रति घंटा है, वही ढलान जो रैखिक समाश्रयण कैलकुलेटर उन आँकड़ों के लिए देता है।