Kovaryans Hesaplayıcı
Eşleştirilmiş x ve y değerlerini yapıştırın; örneklem kovaryansını (n − 1'e bölerek) ve anakütle kovaryansını (n'ye bölerek), her sapmayı ve çarpımı gösteren bir tabloyla alın. Hesaplayıcı işaretin ne anlama geldiğini, kovaryansın büyüklüğünün tek başına neden okunmasının zor olduğunu açıklar ve yanında Pearson r değerini de verir.
0 değer
0 değer
Kovaryansı hesaplamak için en az iki (x, y) çifti girin.
Kovaryans Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Çiftleri girin. x değerlerini ve y değerlerini aynı sıradaki iki liste olarak girin ya da her satıra bir "x; y" çifti yazacak biçime geçin; bir elektronik tablodan iki sütun yapıştırırken bu biçim kullanışlıdır. Ondalık ayracı virgül olduğu için sayıları noktalı virgülle ayırın.
- 2. Sayıları kontrol edin. İki listede de aynı sayıda değer bulunmalıdır; her x, aynı konumdaki y ile eşleşir.
- 3. İki kovaryansı da okuyun. Daha büyük bir popülasyondan alınmış bir örneklem için (araştırmada en sık durum) örneklem kovaryansını, çiftleriniz tüm popülasyonsa anakütle kovaryansını kullanın.
- 4. Tabloyu izleyin. Her satır iki sapmayı ve bunların çarpımını gösterir; çarpımların toplamı formülün payını verir.
Kovaryans Formülü
Kovaryans, iki değişkenin birlikte hareket edip etmediğini ölçer. Her çift için x'in ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu ve y'nin ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu alıp çarparsınız. Çarpım, her iki değer de ortalamalarının üstündeyse ya da altındaysa pozitif, biri üstte diğeri altta ise negatiftir. Çarpımların ortalaması kovaryansı verir:
Örneklem
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
Anakütle
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
Örneklem formülü, örneklem varyansıyla aynı nedenle n − 1'e böler: örneklem ortalamalarından ölçülen sapmalar biraz küçük kalır ve n − 1 bu yanlılığı düzeltir. Üstelik bir değişkenin kendisiyle kovaryansı, onun varyansıdır.
Çalışılmış Örnek
Beş öğrenci revizyon saatlerini (x) ve sınav puanlarını (y) bildiriyor. Ortalamalar x̄ = 6 saat ve ȳ = 75 puan:
| x (saat) | y (puan) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
Çarpımların toplamı: 110.
Örneklem kovaryansı = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; anakütle kovaryansı = 110 ÷ 5 = 22. Her çarpım sıfır ya da pozitif olduğundan işaret açıkça pozitiftir: daha çok revize eden öğrenciler daha yüksek puan almıştır. Kovaryansın x'in varyansına, yani 10'a bölünmesi regresyon doğrusunun eğimini de verir: saat başına 2,75 puan.
Kovaryansın Büyüklüğü Neden Yorumlanması Zordur
Kovaryans, x biriminin y birimiyle çarpımı cinsinden ölçülür — burada saat-puan. Revizyon süresini saat yerine dakika cinsinden kaydederseniz kovaryans 27,5'ten 1.650'ye sıçrar; oysa ilişkinin kendisinde hiçbir şey değişmemiştir. Bu yüzden kovaryansın işareti anlamlıdır, ama büyüklüğü ilişkinin güçlü mü zayıf mı olduğunu söyleyemez ve farklı birimlerle yapılmış çalışmaların kovaryanslarını birbiriyle karşılaştıramazsınız.
Korelasyon, her iki standart sapmaya bölerek bunu giderir: r = sxy ÷ (sx × sy) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98; saat ya da dakika cinsinden aynı sonuç çıkar. İki değişkenin ne kadar güçlü ilişkili olduğunu söylemek istediğinizde r değerini raporlayın — Korelasyon Hesaplayıcı bunu bir yorumla birlikte verir — kovaryansı ise regresyon eğimleri ve portföy varyansı gibi onu gerektiren formüller için saklayın.
Sık sorulan sorular
- Kovaryans size ne anlatır?
- İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü anlatır. Pozitif bir kovaryans, birlikte yükselme eğiliminde olduklarını; negatif olan ise birinin yükselirken diğerinin düşme eğiliminde olduğunu gösterir. Sıfıra yakın bir değer ise doğrusal bir örüntü olmadığını söyler. Büyüklüğü birimlere bağlı olduğu için güçlü mü zayıf mı olduğunu ölçmez.
- Kovaryans ile korelasyon arasındaki fark nedir?
- Korelasyon, kovaryansın iki standart sapmayla yeniden ölçeklenmiş hâlidir; birimsizdir ve −1 ile +1 arasına sıkışır. Kovaryansın işareti korelasyonla aynıdır ama her büyüklükte olabilir; bu yüzden yalnızca korelasyon veri kümeleri arasında karşılaştırılabilir ya da zayıf veya güçlü diye okunabilir.
- Örneklem mi anakütle kovaryansını mı kullanmalıyım?
- Verileriniz bir örneklemse ve daha büyük bir popülasyondaki ilişkiyi tahmin etmek istiyorsanız — araştırmada neredeyse her zaman böyledir — n − 1'e bölen örneklem kovaryansını kullanın. Popülasyonun her üyesine sahipseniz yalnızca n'ye bölen anakütle kovaryansını kullanın. Excel'in COVARIANCE.S ve COVARIANCE.P işlevleri de aynı ayrımı yapar.
- Kovaryans negatif olabilir mi?
- Evet. Negatif kovaryans, bir değişkenin ortalamanın üstündeki değerlerinin diğerinin ortalamanın altındaki değerleriyle birlikte görülme eğiliminde olduğunu gösterir — örneğin ekran süresi ve uyku saati. Büyüklüğünün bir alt ya da üst sınırı yoktur.
- Kovaryans sıfırsa değişkenler bağımsız mıdır?
- Hayır. Sıfır kovaryans yalnızca doğrusal bir ilişki olmadığı anlamına gelir. Değişkenler eğri biçimde güçlü ilişkili olabilir — sıfır etrafında simetrik bir aralıkta y = x² bunun klasik örneğidir — ve yine de kovaryansları tam olarak sıfır olabilir. Bağımsız değişkenlerin kovaryansı her zaman sıfırdır.
- Kovaryans regresyon eğimiyle nasıl ilişkilidir?
- y'nin x üzerine en küçük kareler eğimi, kovaryansın x'in varyansına bölünmesine eşittir: b = kovaryans(x, y) ÷ varyans(x). Çalışılmış örnekte bu, 27,5 ÷ 10 = saat başına 2,75 puandır; Doğrusal Regresyon Hesaplayıcı'nın bu veriler için bildirdiği eğimin aynısıdır.