Calculadora de covarianza
Pega valores pareados de x e y y obtén la covarianza muestral (dividiendo entre n − 1) y la covarianza poblacional (dividiendo entre n), con una tabla de cada desviación y cada producto. La calculadora explica qué indica el signo, por qué el tamaño de una covarianza es difícil de interpretar por sí solo, y da también la r de Pearson. Gratis, sin registro.
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Introduce al menos dos pares (x, y) para calcular la covarianza.
Cómo usar la calculadora de covarianza
- 1. Introduce los pares. Escribe los valores de x y los de y como dos listas en el mismo orden, o cambia a una línea por par con el formato "x, y", cómodo para pegar dos columnas de una hoja de cálculo.
- 2. Comprueba el número. Ambas listas deben tener el mismo número de valores; cada x se empareja con la y que ocupa la misma posición.
- 3. Lee las dos covarianzas. Usa la covarianza muestral cuando tus datos son una muestra de una población más grande, que es el caso habitual en la investigación, y la covarianza poblacional cuando tus pares son toda la población.
- 4. Sigue la tabla. Cada fila muestra las dos desviaciones respecto de las medias y su producto; los productos suman el numerador de la fórmula.
La fórmula de la covarianza
La covarianza mide si dos variables se mueven juntas. Para cada par, toma cuánto se aleja x de su media y cuánto se aleja y de la suya, y multiplícalas. El producto es positivo cuando ambas están por encima de sus medias o ambas por debajo, y negativo cuando una está por encima y la otra por debajo. Promediar los productos da la covarianza:
Muestral
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
Poblacional
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
La versión muestral divide entre n − 1 por la misma razón que lo hace la varianza muestral: las desviaciones respecto de las medias muestrales resultan algo pequeñas, y n − 1 corrige ese sesgo. De hecho, la covarianza de una variable consigo misma es su varianza.
Ejemplo desarrollado
Cinco estudiantes indican sus horas de repaso (x) y sus notas de examen (y). Las medias son x̄ = 6 horas e ȳ = 75 puntos:
| x (horas) | y (nota) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
Suma de los productos: 110.
Covarianza muestral = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; covarianza poblacional = 110 ÷ 5 = 22. Todos los productos son cero o positivos, así que el signo es claramente positivo: los estudiantes que repasaron más obtuvieron mejores notas. Si divides la covarianza entre la varianza de x, 10, obtienes también la pendiente de la recta de regresión: 2,75 puntos por cada hora adicional.
Por qué el tamaño de una covarianza es difícil de interpretar
La covarianza se mide en unidades de x por unidades de y; aquí, horas por puntos. Si registras el tiempo de repaso en minutos en lugar de en horas, la covarianza pasa de 27,5 a 1.650, aunque la relación no haya cambiado en nada. Así pues, el signo de una covarianza es significativo, pero su tamaño no dice si una relación es fuerte o débil, y no puedes comparar covarianzas entre estudios con unidades distintas.
La correlación resuelve esto dividiendo entre las dos desviaciones típicas: r = sxy ÷ (sx × sy) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, tanto en horas como en minutos. Cuando quieras decir qué tan fuerte es la relación entre dos variables, informa de r —la Calculadora de correlación la da con su interpretación— y reserva la covarianza para las fórmulas que la necesitan, como las pendientes de regresión y la varianza de una cartera de inversión.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué indica la covarianza?
- Indica la dirección de la relación lineal entre dos variables. Una covarianza positiva significa que tienden a subir juntas; una negativa, que una tiende a bajar cuando la otra sube; y un valor cercano a cero, que no hay un patrón lineal. Su tamaño depende de las unidades, así que no mide la fuerza.
- ¿En qué se diferencian covarianza y correlación?
- La correlación es la covarianza reescalada por las dos desviaciones típicas, lo que la vuelve adimensional y la confina entre −1 y +1. La covarianza tiene el mismo signo que la correlación pero puede tener cualquier tamaño, así que solo la correlación puede compararse entre conjuntos de datos o leerse como débil o fuerte.
- ¿Debo usar la covarianza muestral o la poblacional?
- Usa la covarianza muestral, dividiendo entre n − 1, cuando tus datos son una muestra y quieres estimar la relación en una población más grande, lo que casi siempre ocurre en la investigación. Usa la covarianza poblacional, dividiendo entre n, solo cuando tienes a todos los miembros de la población. Las funciones de Excel COVARIANZA.M y COVARIANZA.P (en la versión en inglés, COVARIANCE.S y COVARIANCE.P) hacen la misma distinción.
- ¿Puede ser negativa la covarianza?
- Sí. Una covarianza negativa significa que los valores por encima de la media de una variable tienden a darse junto con valores por debajo de la media de la otra, como ocurre con las horas de pantalla y las horas de sueño, por ejemplo. No tiene límite de tamaño ni por arriba ni por abajo.
- ¿Una covarianza de cero significa que las variables son independientes?
- No. Una covarianza nula significa que no hay relación lineal. Las variables pueden estar fuertemente relacionadas de forma curva —y = x² en un rango simétrico alrededor de cero es el caso clásico— y aun así tener una covarianza exactamente igual a cero. Las variables independientes siempre tienen covarianza cero.
- ¿Cómo se relaciona la covarianza con la pendiente de regresión?
- La pendiente de mínimos cuadrados de y sobre x es la covarianza dividida entre la varianza de x: b = covarianza(x, y) ÷ varianza(x). En el ejemplo desarrollado eso da 27,5 ÷ 10 = 2,75 puntos por hora, la misma pendiente que informa la herramienta Linear Regression Calculator para esos datos.