Kovarianzrechner
Fügen Sie gepaarte x- und y-Werte ein und erhalten Sie die Stichprobenkovarianz (Division durch n − 1) und die Populationskovarianz (Division durch n), mit einer Tabelle jeder Abweichung und jedes Produkts. Der Rechner erklärt, was das Vorzeichen aussagt und warum die Größe einer Kovarianz allein schwer zu deuten ist, und stellt Pearsons r daneben.
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Geben Sie mindestens zwei (x, y)-Paare ein, um die Kovarianz zu berechnen.
So verwenden Sie den Kovarianzrechner
- 1. Geben Sie die Paare ein. Tragen Sie die x-Werte und y-Werte als zwei Listen in derselben Reihenfolge ein oder wechseln Sie zu einem „x, y“-Paar pro Zeile. Das ist praktisch, wenn Sie zwei Spalten aus einer Tabellenkalkulation einfügen.
- 2. Prüfen Sie die Anzahl. Beide Listen müssen gleich viele Werte enthalten; jedes x wird mit dem y an derselben Position gepaart.
- 3. Lesen Sie beide Kovarianzen ab. Verwenden Sie die Stichprobenkovarianz für eine Stichprobe aus einer größeren Population, dem üblichen Fall in der Forschung, und die Populationskovarianz, wenn Ihre Paare die gesamte Population bilden.
- 4. Folgen Sie der Tabelle. Jede Zeile zeigt die beiden Abweichungen vom Mittelwert und ihr Produkt; die Produkte ergeben in der Summe den Zähler der Formel.
Die Kovarianzformel
Die Kovarianz misst, ob sich zwei Variablen gemeinsam bewegen. Für jedes Paar bilden Sie, wie weit x von seinem Mittelwert entfernt liegt und wie weit y von seinem Mittelwert, und multiplizieren beides. Das Produkt ist positiv, wenn beide über ihren Mittelwerten oder beide darunter liegen, und negativ, wenn das eine darüber und das andere darunter liegt. Der Mittelwert der Produkte ergibt die Kovarianz:
Stichprobe
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
Population
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
Die Stichprobenversion teilt durch n − 1 aus demselben Grund wie die Stichprobenvarianz: Die Abweichungen von den Stichprobenmittelwerten fallen etwas zu klein aus, und n − 1 korrigiert diese Verzerrung. Tatsächlich ist die Kovarianz einer Variablen mit sich selbst ihre Varianz.
Beispiel
Fünf Studierende geben ihre Lernstunden (x) und ihre Prüfungspunkte (y) an. Die Mittelwerte sind x̄ = 6 Stunden und ȳ = 75 Punkte:
| x (Stunden) | y (Punkte) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
Summe der Produkte: 110.
Stichprobenkovarianz = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; Populationskovarianz = 110 ÷ 5 = 22. Alle Produkte sind null oder positiv, also ist das Vorzeichen eindeutig positiv: Studierende, die mehr gelernt haben, erzielten höhere Punkte. Teilt man die Kovarianz durch die Varianz von x, 10, erhält man auch die Steigung der Regressionsgeraden: 2,75 Punkte pro zusätzliche Stunde.
Warum sich die Größe einer Kovarianz schwer deuten lässt
Die Kovarianz wird in Einheiten von x mal Einheiten von y gemessen, hier also in Stunde-Punkten. Erfassen Sie die Lernzeit statt in Stunden in Minuten, springt die Kovarianz von 27,5 auf 1.650, obwohl sich am Zusammenhang nichts geändert hat. Das Vorzeichen einer Kovarianz ist also aussagekräftig, ihre Größe sagt jedoch nicht, ob ein Zusammenhang stark oder schwach ist, und Kovarianzen aus verschiedenen Studien mit unterschiedlichen Einheiten lassen sich nicht vergleichen.
Die Korrelation behebt das, indem sie durch beide Standardabweichungen teilt: r = sxy ÷ (sx × sy) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, in Stunden oder in Minuten. Wenn Sie angeben möchten, wie stark zwei Variablen zusammenhängen, berichten Sie r. Der Korrelationsrechner liefert es mit einer Deutung. Die Kovarianz behalten Sie für Formeln, die sie brauchen, etwa Regressionssteigungen und Portfoliovarianz.
Häufig gestellte Fragen
- Was sagt die Kovarianz aus?
- Sie zeigt die Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen. Eine positive Kovarianz bedeutet, dass sie tendenziell gemeinsam steigen, eine negative, dass die eine tendenziell fällt, wenn die andere steigt, und ein Wert nahe null bedeutet kein lineares Muster. Ihre Größe hängt von den Einheiten ab, deshalb misst sie keine Stärke.
- Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation?
- Die Korrelation ist die Kovarianz, geteilt durch die beiden Standardabweichungen. Dadurch ist sie einheitenfrei und liegt zwischen −1 und +1. Die Kovarianz hat dasselbe Vorzeichen wie die Korrelation, kann aber jede Größe annehmen, daher lässt sich nur die Korrelation über Datensätze hinweg vergleichen oder als schwach oder stark deuten.
- Soll ich die Stichproben- oder die Populationskovarianz verwenden?
- Verwenden Sie die Stichprobenkovarianz mit Division durch n − 1, wenn Ihre Daten eine Stichprobe sind und Sie den Zusammenhang in einer größeren Population schätzen wollen, was in der Forschung fast immer der Fall ist. Die Populationskovarianz mit Division durch n verwenden Sie nur, wenn Sie die gesamte Population vorliegen haben. Die Excel-Funktionen KOVARIANZ.S und KOVARIANZ.P treffen dieselbe Unterscheidung.
- Kann die Kovarianz negativ sein?
- Ja. Eine negative Kovarianz bedeutet, dass überdurchschnittliche Werte der einen Variablen tendenziell mit unterdurchschnittlichen Werten der anderen auftreten, etwa Bildschirmzeit und Schlafstunden. Ihrer Größe sind nach oben und unten keine Grenzen gesetzt.
- Bedeutet eine Kovarianz von null, dass die Variablen unabhängig sind?
- Nein. Eine Kovarianz von null bedeutet nur, dass es keinen linearen Zusammenhang gibt. Variablen können auf gekrümmte Weise stark zusammenhängen, etwa y = x² über einen um null symmetrischen Bereich, und trotzdem genau null Kovarianz haben. Unabhängige Variablen haben dagegen immer eine Kovarianz von null.
- Wie hängt die Kovarianz mit der Regressionssteigung zusammen?
- Die Steigung der Kleinste-Quadrate-Geraden von y auf x ist die Kovarianz geteilt durch die Varianz von x: b = Kovarianz(x, y) ÷ Varianz(x). Im Beispiel ergibt das 27,5 ÷ 10 = 2,75 Punkte pro Stunde, dieselbe Steigung, die der Rechner für lineare Regression für diese Daten angibt.