Rechner für das geometrische Mittel
Ermitteln Sie das geometrische Mittel positiver Zahlen oder verwandeln Sie eine Reihe prozentualer Änderungen – +10 %, −5 %, +20 % – in die echte durchschnittliche Wachstumsrate je Periode. Der Rechenweg zeigt das Logarithmus-Verfahren Schritt für Schritt, und das harmonische und das arithmetische Mittel stehen daneben, damit Sie sehen, welchen Durchschnitt Ihre Daten verlangen.
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Geben Sie mindestens zwei positive Zahlen ein.
So verwenden Sie den Rechner für das geometrische Mittel
- 1. Wählen Sie, was Sie mitteln. Positive Werte wie Verhältnisse, Konzentrationen oder Preise oder prozentuale Änderungen von einer Periode zur nächsten.
- 2. Geben Sie die Zahlen ein. Bei Änderungen tippen Sie 10 für +10 % und -5 für −5 %; ein %-Zeichen ist ebenfalls in Ordnung.
- 3. Lesen Sie das Ergebnis ab. Werte ergeben das geometrische Mittel mit dem harmonischen und dem arithmetischen Mittel zum Vergleich; Änderungen ergeben das durchschnittliche Wachstum je Periode, den irreführenden einfachen Durchschnitt und die Gesamtänderung.
- 4. Prüfen Sie den Rechenweg. Das Logarithmus-Verfahren, die Produktform und eine Probe, dass die durchschnittliche Rate die Gesamtänderung reproduziert, werden alle gezeigt.
Die Formel des geometrischen Mittels
Das arithmetische Mittel addiert die Werte und teilt durch n. Das geometrische Mittel multipliziert sie und zieht die n-te Wurzel:
Definition
GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
Logarithmus-Verfahren
GM = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
Für 2 und 8 gilt GM = √(2 × 8) = √16 = 4, während das arithmetische Mittel 5 ist. Für die Beispieldaten – 12, 18, 30, 45 und 200 – ist das Produkt 58.320.000, und seine fünfte Wurzel beträgt 35,74, während das arithmetische Mittel von 61 durch den einzelnen großen Wert nach oben gezogen wird. Der Rechner verwendet das Logarithmus-Verfahren, weil es dieselbe Zahl sicher berechnet: Ein Produkt aus einigen hundert gewöhnlichen Werten läuft über, eine Summe ihrer Logarithmen dagegen nie.
Durchschnittliche Wachstumsraten: Warum das geometrische Mittel richtig ist
Wachstum verzinst sich, daher werden Änderungen multipliziert. Eine Größe, die um 10 % wächst, um 5 % schrumpft und um 20 % wächst, wird mit 1,10 × 0,95 × 1,20 = 1,254 multipliziert – ein Gesamtanstieg von 25,4 %. Die konstante Rate, die dieselbe Gesamtsumme ergibt, ist das geometrische Mittel der Wachstumsfaktoren minus eins: 1,2541/3 − 1 = 7,84 % je Periode.
Der einfache Durchschnitt der drei Änderungen, 8,33 %, überzeichnet sie: 1,0833 hoch drei ist 1,2714, er würde 100 also in 127,14 verwandeln statt in die tatsächlichen 125,40. Der Abstand wird bei schwankenden Änderungen dramatisch. Ein Anstieg um 50 % gefolgt von einem Rückgang um 50 % ergibt im Mittel 0 %, doch aus 100 werden 150 und dann 75 – das geometrische Mittel gibt die Wahrheit an: −13,4 % je Periode. Es ist dieselbe Rechnung wie bei einer durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate (CAGR).
Welchen Mittelwert sollten Sie verwenden?
| Mittelwert | Verwenden Sie ihn für | Beispiel |
|---|---|---|
| Arithmetisch | Größen, die sich addieren | Testergebnisse, Körpergrößen, Tagestemperaturen |
| Geometrisch | Größen, die sich multiplizieren, oder Daten über mehrere Größenordnungen | Wachstumsraten, Anlagerenditen, Verhältnisse, Indexzahlen |
| Harmonisch | Raten, die über eine feste Menge von etwas gemessen werden | Durchschnittsgeschwindigkeit über gleich lange Strecken, Kurs-Gewinn-Verhältnisse, der F1-Wert |
Das harmonische Mittel ist n ÷ Σ(1/x). Fahren Sie mit 60 km/h hin und mit 40 km/h zurück über dieselbe Strecke, dann ist Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/h, nicht 50 – Sie waren länger mit der langsameren Geschwindigkeit unterwegs. Für beliebige positive Daten stehen die drei Mittelwerte in dieser Reihenfolge: harmonisch ≤ geometrisch ≤ arithmetisch.
Häufig gestellte Fragen
- Wofür wird das geometrische Mittel verwendet?
- Es mittelt Größen, die sich durch Multiplikation verbinden: Wachstumsraten und Anlagerenditen über mehrere Perioden, Verhältnisse und Faltungsänderungen (fold changes) sowie schiefe positive Daten, die mehrere Größenordnungen umfassen, etwa Bakterienzahlen oder Antikörpertiter. In jedem dieser Fälle ergibt es den typischen multiplikativen Wert, den das arithmetische Mittel überzeichnet.
- Wie berechnet man das geometrische Mittel?
- Multiplizieren Sie die n Werte miteinander und ziehen Sie die n-te Wurzel aus dem Produkt. Gleichwertig: Mitteln Sie die natürlichen Logarithmen der Werte und potenzieren Sie das Ergebnis, so wie es Rechner und Software tun. Für 4, 9 und 6 ist das Produkt 216, und die dritte Wurzel aus 216 ist 6.
- Warum kann das geometrische Mittel nicht mit Null oder negativen Zahlen rechnen?
- Eine einzige Null macht das ganze Produkt null, unabhängig von den übrigen Werten, und der Logarithmus von null oder einer negativen Zahl ist nicht definiert. Bei negativen Werten ist die Wurzel womöglich nicht einmal eine reelle Zahl. Deshalb werden Wachstumsraten in Faktoren wie 0,95 für −5 % umgerechnet: Die Faktoren bleiben positiv, solange keine Änderung −100 % erreicht.
- Wie berechnet man eine durchschnittliche Wachstumsrate?
- Rechnen Sie jede prozentuale Änderung in einen Wachstumsfaktor (1 + Änderung ÷ 100) um, multiplizieren Sie die Faktoren, ziehen Sie die n-te Wurzel und subtrahieren Sie 1. Für +10 %, −5 % und +20 % ergibt das 1,254^(1/3) − 1 = 7,84 % je Periode. Wenn Sie nur Anfangs- und Endwert kennen, ergibt dieselbe Idee CAGR = (Ende ÷ Anfang)^(1/n) − 1.
- Ist das geometrische Mittel immer kleiner als das arithmetische Mittel?
- Es ist nie größer. Für positive Zahlen ist das geometrische Mittel kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel, und beide sind nur gleich, wenn alle Werte gleich sind. Je stärker die Werte streuen, desto größer ist der Abstand.
- Wann sollte ich das harmonische Mittel verwenden?
- Verwenden Sie es, um Raten zu mitteln, wenn die feste Größe im Nenner der Rate steht – etwa Durchschnittsgeschwindigkeit über gleich lange Strecken, durchschnittlicher Preis, wenn jedes Mal gleich viel ausgegeben wird, oder durchschnittliche Kurs-Gewinn-Verhältnisse. Der F1-Wert des maschinellen Lernens ist das harmonische Mittel aus Precision und Recall; er verhindert, dass ein hoher Wert einen niedrigen verdeckt.