기하 평균 계산기
양수의 기하 평균을 구하거나, +10%, −5%, +20%와 같은 일련의 백분율 변화를 기간당 실제 평균 성장률로 바꿔 보세요. 계산 과정은 로그 방법을 단계별로 보여 주며, 조화 평균과 산술 평균도 함께 나와 데이터에 어떤 평균이 맞는지 비교할 수 있습니다.
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양수 두 개 이상을 입력하세요.
기하 평균 계산기 사용 방법
- 1. 평균을 낼 대상을 고르세요. 비율, 농도, 가격처럼 양수로 된 값이나, 한 기간에서 다음 기간으로의 백분율 변화입니다.
- 2. 숫자를 입력하세요. 변화율의 경우 +10%는 10, −5%는 -5로 입력하세요. % 기호를 함께 써도 됩니다.
- 3. 결과를 읽으세요. 값을 입력하면 비교를 위한 조화 평균과 산술 평균과 함께 기하 평균이 나옵니다. 변화율을 입력하면 기간당 평균 성장률, 오해를 낳는 단순 평균, 그리고 전체 변화율이 나옵니다.
- 4. 계산 과정을 확인하세요. 로그 방법, 곱 형태, 그리고 평균 성장률로 전체 변화를 다시 재현하는 검산이 모두 표시됩니다.
기하 평균 공식
산술 평균은 값들을 더한 뒤 n으로 나눕니다. 기하 평균은 값들을 곱한 뒤 n제곱근을 구합니다:
정의
GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
로그 방법
GM = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
2와 8의 경우 GM = √(2 × 8) = √16 = 4이고, 산술 평균은 5입니다. 예시 데이터인 12, 18, 30, 45, 200의 경우 곱은 58,320,000이고 그 다섯제곱근은 35.74입니다. 반면 산술 평균인 61은 값 하나가 크다는 이유로 위로 끌려 올라갑니다. 계산기가 로그 방법을 쓰는 이유는 같은 수를 안전하게 계산하기 위해서입니다. 평범한 값 수백 개를 곱하면 계산 범위를 넘어서지만, 그 로그들의 합은 절대 그러지 않습니다.
평균 성장률: 기하 평균이 맞는 이유
성장은 복리로 일어나므로 변화율은 곱해집니다. 10% 증가, 5% 감소, 20% 증가하는 양은 1.10 × 0.95 × 1.20 = 1.254를 곱한 것이 되어 총 25.4% 증가합니다. 같은 총변화를 주는 일정한 비율은 성장 계수들의 기하 평균에서 1을 뺀 값입니다: 1.2541/3 − 1 = 기간당 7.84%.
세 변화율의 단순 평균인 8.33%는 이를 과대평가합니다. 1.0833의 세제곱은 1.2714이므로, 실제로 가지고 있는 125.40이 아니라 100을 127.14로 만들어 버립니다. 변동이 큰 변화율에서는 차이가 극적으로 벌어집니다. 50% 상승 후 50% 하락의 평균은 0%이지만, 100은 150이 되었다가 75가 됩니다. 기하 평균은 실제를 보여 주며, 기간당 −13.4%입니다. 이 계산은 연평균 성장률(CAGR)과 같은 계산입니다.
어떤 평균을 써야 할까요?
| 평균 | 사용 대상 | 예시 |
|---|---|---|
| 산술 | 더해서 합산되는 양 | 시험 점수, 키, 일일 기온 |
| 기하 | 곱해져 누적되는 양, 또는 여러 자릿수에 걸친 데이터 | 성장률, 투자 수익률, 비율, 지수 |
| 조화 | 일정한 양을 기준으로 측정한 비율 | 같은 거리에 대한 평균 속력, 주가수익비율, F1 점수 |
조화 평균은 n ÷ Σ(1/x)입니다. 같은 거리를 60 km/h로 가고 40 km/h로 돌아오면 평균 속력은 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/h이며, 50 km/h가 아닙니다. 느린 속도로 더 오래 달렸기 때문입니다. 모든 양수 데이터에서 세 평균은 조화 평균 ≤ 기하 평균 ≤ 산술 평균의 순서를 따릅니다.
자주 묻는 질문
- 기하 평균은 무엇에 쓰나요?
- 곱셈으로 결합되는 양을 평균하는 데 씁니다. 여러 기간에 걸친 성장률과 투자 수익률, 비율과 배수 변화, 그리고 여러 자릿수에 걸쳐 치우친 양수 데이터(예: 세균 수나 항체 역가)가 그 예입니다. 어느 경우든 기하 평균은 전형적인 곱셈적 값을 주며, 산술 평균은 이를 과대평가합니다.
- 기하 평균은 어떻게 계산하나요?
- n개의 값을 모두 곱한 뒤 그 곱의 n제곱근을 구합니다. 같은 뜻으로, 값들의 자연로그 평균을 구한 뒤 지수를 취하는 방법이 있으며, 계산기와 소프트웨어가 실제로 이 방법을 씁니다. 4, 9, 6의 곱은 216이고, 216의 세제곱근은 6입니다.
- 기하 평균에는 0이나 음수를 쓸 수 없는 이유가 무엇인가요?
- 0이 하나라도 있으면 다른 값과 관계없이 곱 전체가 0이 되고, 0이나 음수의 로그는 정의되지 않습니다. 음수가 섞이면 그 제곱근은 실수가 아닐 수도 있습니다. 그래서 변화율은 −5%를 0.95와 같은 계수로 바꿔 계산하며, 이 계수는 변화율이 −100%에 이르지 않는 한 양수로 남습니다.
- 평균 성장률은 어떻게 계산하나요?
- 각 백분율 변화를 성장 계수(1 + 변화율 ÷ 100)로 바꾸고, 계수들을 곱한 뒤 n제곱근을 구하고 1을 뺍니다. +10%, −5%, +20%의 경우 1.254^(1/3) − 1 = 기간당 7.84%입니다. 시작값과 끝값만 알고 있다면 같은 원리로 CAGR = (끝값 ÷ 시작값)^(1/n) − 1을 씁니다.
- 기하 평균은 항상 산술 평균보다 작은가요?
- 결코 더 크지 않습니다. 양수에서 기하 평균은 산술 평균보다 작거나 같으며, 모든 값이 같을 때만 같아집니다. 값들이 더 퍼져 있을수록 차이도 커집니다.
- 조화 평균은 언제 써야 하나요?
- 비율의 분모에 고정된 양이 있을 때 비율을 평균하려면 씁니다. 같은 거리에 대한 평균 속력, 매번 같은 금액을 쓸 때 지불한 평균 가격, 또는 평균 주가수익비율이 그 예입니다. 기계학습의 F1 점수는 정밀도와 재현율의 조화 평균이며, 한쪽이 낮은데도 높은 값에 가려지는 일을 막아 줍니다.