حاسبة المتوسط الهندسي

كيفية استخدام حاسبة المتوسط الهندسي

1. 1. اختر ما تحسب متوسطه. قيم موجبة مثل النسب أو التركيزات أو الأسعار، أو تغيرات مئوية من فترة إلى التي تليها.
2. 2. أدخل الأعداد. بالنسبة إلى التغيرات، اكتب 10 لـ +10% و-5 لـ −5%، ويصح أيضًا وضع علامة %.
3. 3. اقرأ النتيجة. تعطي القيم المتوسط الهندسي مع المتوسطين التوافقي والحسابي للمقارنة. وتعطي التغيرات معدل النمو المتوسط لكل فترة، والمتوسط البسيط المضلِّل، والتغير الكلي.
4. 4. تحقّق من الحل. تظهر طريقة اللوغاريتم وصيغة حاصل الضرب، إضافةً إلى تحقق من أن معدل النمو المتوسط يعيد إنتاج الإجمالي.

صيغة المتوسط الهندسي

يجمع المتوسط الحسابي القيم ويقسم المجموع على n. أما المتوسط الهندسي فيضرب القيم ويأخذ الجذر النوني للحاصل:

بالنسبة إلى 2 و8 يكون GM = √(2 × 8) = √16 = 4، بينما المتوسط الحسابي 5. أما البيانات النموذجية، أي 12 و18 و30 و45 و200، فحاصل ضربها 58,320,000 وجذرها الخامس 35.74، في حين يرفع المتوسط الحسابي البالغ 61 قيمةٌ كبيرة واحدة. وتستخدم الحاسبة طريقة اللوغاريتم لأنها الرقم نفسه محسوبًا بأمان: فحاصل ضرب بضع مئات من القيم العادية يفيض، أما مجموع لوغاريتماتها فلا يفيض أبدًا.

معدلات النمو المتوسطة: لماذا المتوسط الهندسي هو الصحيح

النمو مركّب، لذلك تتضاعف التغيرات. فالكمية التي تنمو 10% ثم تنقص 5% ثم تنمو 20% تُضرب في 1.10 × 0.95 × 1.20 = 1.254، أي ارتفاع كلي قدره 25.4%. والمعدل الثابت الذي يعطي الإجمالي نفسه هو المتوسط الهندسي لمعاملات النمو مطروحًا منه واحد: 1.254^1/3 − 1 = 7.84% لكل فترة.

ويبالغ المتوسط البسيط للتغيرات الثلاثة، أي 8.33%، في تقديره: فـ 1.0833 مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي 1.2714، فيحوّل 100 إلى 127.14 بدلًا من 125.40 الفعلية. وتكبر الفجوة مع التغيرات المتقلبة. فارتفاع بنسبة 50% يتبعه انخفاض بنسبة 50% يعطي متوسطًا قدره 0%، ومع ذلك يصبح 100 هو 150 ثم 75. والمتوسط الهندسي يعطي الحقيقة، أي −13.4% لكل فترة. وهذا هو الحساب نفسه لمعدل النمو السنوي المركّب (CAGR).

أي متوسط ينبغي أن تستخدم؟

المتوسط التوافقي هو n ÷ Σ(1/x). إذا قدت بسرعة 60 كم/س ذهابًا و40 كم/س إيابًا على المسافة نفسها، فمتوسط سرعتك 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 كم/س، لا 50، لأنك قضيت وقتًا أطول بالسرعة الأبطأ. ولأي بيانات موجبة تترتب المتوسطات الثلاثة على النحو التالي: التوافقي ≤ الهندسي ≤ الحسابي.

الأسئلة الشائعة

فيمَ يُستخدم المتوسط الهندسي؟

يتوسط الكميات التي تتركّب بالضرب: معدلات النمو والعوائد الاستثمارية عبر عدة فترات، والنسب ومعاملات التغير بالطي (fold-changes)، والبيانات الموجبة المنحرفة التي تمتد عبر عدة رتب من الحجم، مثل أعداد البكتيريا أو مستويات الأجسام المضادة (titres). وفي كل حالة يعطي القيمة المضاعِفة المعتادة، وهي القيمة التي يبالغ المتوسط الحسابي في تقديرها.

كيف تحسب المتوسط الهندسي؟

اضرب القيم الـ n في بعضها، ثم خذ الجذر النوني للحاصل. ومكافِئًا لذلك: احسب متوسط اللوغاريتمات الطبيعية للقيم، ثم خذ الأُسّ (exp) للناتج، وهذا ما تفعله الآلات الحاسبة والبرمجيات. فمع 4 و9 و6 يكون الحاصل 216، والجذر التكعيبي لـ 216 هو 6.

لماذا لا يستخدم المتوسط الهندسي الأصفار أو الأعداد السالبة؟

يجعل الصفر الواحد حاصل الضرب كله صفرًا، مهما كانت القيم الأخرى، ولوغاريتم الصفر أو العدد السالب غير معرّف. ومع القيم السالبة قد لا يكون الجذر عددًا حقيقيًا أصلًا. ولهذا تُحوَّل معدلات النمو إلى معاملات مثل 0.95 لـ −5%: تبقى المعاملات موجبة ما لم يبلغ التغير −100%.

كيف تحسب معدل النمو المتوسط؟

حوّل كل تغير مئوي إلى معامل نمو (1 + التغير ÷ 100)، واضرب المعاملات، وخذ الجذر النوني، ثم اطرح 1. فمع +10% و−5% و+20% يكون ذلك 1.254^(1/3) − 1 = 7.84% لكل فترة. وإذا كنت تعرف القيمتين الابتدائية والنهائية فقط، فالفكرة نفسها تعطي CAGR = (النهائية ÷ الابتدائية)^(1/n) − 1.

هل المتوسط الهندسي أصغر دائمًا من المتوسط الحسابي؟

لا يكون أكبر منه أبدًا. فللأعداد الموجبة يكون المتوسط الهندسي أصغر من المتوسط الحسابي أو مساويًا له، ولا يتساويان إلا عندما تكون كل القيم متساوية. وكلما تباعدت القيم اتسعت الفجوة.

متى ينبغي أن أستخدم المتوسط التوافقي؟

استخدمه لمتوسط المعدلات عندما يكون الشيء الثابت في مقام المعدل: متوسط السرعة على مسافات متساوية، أو متوسط السعر المدفوع حين تنفق المبلغ نفسه في كل مرة، أو متوسط نسب السعر إلى الربح. ودرجة F1 في تعلّم الآلة هي المتوسط التوافقي للدقة والاستدعاء، وهي تمنع القيمة المرتفعة من إخفاء قيمة منخفضة.