Калькулятор среднего геометрического
Найдите среднее геометрическое положительных чисел или превратите ряд процентных изменений — +10%, −5%, +20% — в истинный средний темп роста за период. Ход вычислений показывает метод логарифмов шаг за шагом, а гармоническое и арифметическое средние стоят рядом, чтобы вы видели, какое среднее подходит вашим данным.
0 значений распознано
Введите не меньше двух положительных чисел.
Как пользоваться калькулятором среднего геометрического
- 1. Выберите, что усредняете. Положительные значения, например соотношения, концентрации или цены, либо процентные изменения от одного периода к следующему.
- 2. Введите числа. Для изменений введите 10 для +10% и -5 для −5%; знак % тоже допустим.
- 3. Прочитайте результат. Значения дают среднее геометрическое вместе с гармоническим и арифметическим для сравнения; изменения дают средний рост за период, вводящее в заблуждение простое среднее и общее изменение.
- 4. Проверьте расчёт. Показаны метод логарифмов, форма через произведение и проверка того, что средний темп воспроизводит общее изменение.
Формула среднего геометрического
Среднее арифметическое складывает значения и делит на n. Среднее геометрическое перемножает их и берёт корень степени n:
Определение
GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
Метод логарифмов
GM = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
Для 2 и 8 GM = √(2 × 8) = √16 = 4, тогда как арифметическое равно 5. Для примера данных — 12, 18, 30, 45 и 200 — произведение равно 58 320 000, его корень пятой степени равен 35,74, а арифметическое 61 тянет вверх одно большое значение. Калькулятор использует метод логарифмов, потому что он даёт то же число, вычисленное безопасно: произведение нескольких сотен обычных значений переполняет вычисления, а сумма их логарифмов — никогда.
Средние темпы роста: почему нужно геометрическое
Рост складывается по сложным процентам, поэтому изменения перемножаются. Величина, которая растёт на 10%, падает на 5% и растёт на 20%, умножается на 1,10 × 0,95 × 1,20 = 1,254 — общий рост на 25,4%. Постоянный темп, дающий тот же итог, — это среднее геометрическое коэффициентов роста минус один: 1,2541/3 − 1 = 7,84% за период.
Простое среднее трёх изменений, 8,33%, завышает его: 1,0833 в кубе равно 1,2714, так что оно превратило бы 100 в 127,14 вместо реальных 125,40. Разрыв становится драматичным при волатильных изменениях. Рост на 50% с последующим падением на 50% даёт среднее 0%, но 100 становится 150, а затем 75 — среднее геометрическое показывает истину: −13,4% за период. Это тот же расчёт, что и среднегодовой темп роста (CAGR).
Какое среднее использовать?
| Среднее | Для чего использовать | Пример |
|---|---|---|
| Арифметическое | Величины, которые складываются | Баллы за тесты, рост, дневные температуры |
| Геометрическое | Величины, которые перемножаются, или данные, охватывающие несколько порядков величины | Темпы роста, доходность инвестиций, соотношения, индексы |
| Гармоническое | Ставки, измеренные при фиксированном количестве чего-либо | Средняя скорость на равных расстояниях, отношения цены к прибыли, F1-мера |
Гармоническое среднее — это n ÷ Σ(1/x). Если вы едете 60 км/ч туда и 40 км/ч обратно на одинаковое расстояние, средняя скорость равна 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 км/ч, а не 50: вы дольше ехали на меньшей скорости. Для любых положительных данных три средних идут в порядке: гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое.
Часто задаваемые вопросы
- Для чего используется среднее геометрическое?
- Оно усредняет величины, которые объединяются умножением: темпы роста и доходность инвестиций за несколько периодов, соотношения и кратности изменений, а также асимметричные положительные данные, охватывающие несколько порядков величины, например количество бактерий или титры антител. Во всех случаях оно даёт типичное мультипликативное значение, которое арифметическое завышает.
- Как вычислить среднее геометрическое?
- Перемножьте n значений и возьмите корень степени n из произведения. Эквивалентно можно усреднить натуральные логарифмы значений и возвести результат в экспоненту — именно так работают калькуляторы и программы. Для 4, 9 и 6 произведение равно 216, а кубический корень из 216 равен 6.
- Почему среднее геометрическое нельзя считать для нуля или отрицательных чисел?
- Один ноль обнуляет всё произведение независимо от остальных значений, а логарифм нуля или отрицательного числа не определён. При отрицательных значениях корень может даже не быть действительным числом. Поэтому темпы роста переводят в коэффициенты, например 0,95 для −5%: коэффициенты остаются положительными, если только изменение не достигает −100%.
- Как вычислить средний темп роста?
- Переведите каждое процентное изменение в коэффициент роста (1 + изменение ÷ 100), перемножьте коэффициенты, возьмите корень степени n и вычтите 1. Для +10%, −5% и +20% это 1,254^(1/3) − 1 = 7,84% за период. Если известны только начальное и конечное значения, та же идея даёт CAGR = (конец ÷ начало)^(1/n) − 1.
- Среднее геометрическое всегда меньше арифметического?
- Оно никогда не больше. Для положительных чисел среднее геометрическое меньше или равно арифметическому, и они равны только тогда, когда все значения одинаковы. Чем больше разброс значений, тем больше разрыв.
- Когда использовать гармоническое среднее?
- Используйте его для усреднения ставок, когда зафиксированная величина находится в знаменателе ставки: средняя скорость на равных расстояниях, средняя цена при покупке на одинаковые суммы каждый раз или среднее отношение цены к прибыли. F1-мера в машинном обучении — это гармоническое среднее точности и полноты, которое не даёт высокому значению скрыть низкое.