Kalkulator średniej geometrycznej
Znajdź średnią geometryczną dodatnich liczb albo zamień serię zmian procentowych — +10%, −5%, +20% — na prawdziwe średnie tempo wzrostu na okres. Obliczenia pokazują metodę logarytmiczną krok po kroku, a średnia harmoniczna i arytmetyczna stoją obok, byś mógł zobaczyć, jakiej średniej wymagają twoje dane.
0 wykrytych wartości
Wpisz co najmniej dwie dodatnie liczby.
Jak korzystać z kalkulatora średniej geometrycznej
- 1. Wybierz, co uśredniasz. Dodatnie wartości, takie jak stosunki, stężenia lub ceny, albo zmiany procentowe z jednego okresu do następnego.
- 2. Wpisz liczby. Dla zmian wpisz 10 dla +10% i -5 dla −5%; znak % też jest dozwolony.
- 3. Odczytaj wynik. Wartości dają średnią geometryczną wraz ze średnią harmoniczną i arytmetyczną do porównania; zmiany dają średni wzrost na okres, mylącą prostą średnią i łączną zmianę.
- 4. Sprawdź obliczenia. Pokazane są metoda logarytmiczna, postać iloczynowa oraz sprawdzenie, że średnie tempo odtwarza łączną zmianę.
Wzór na średnią geometryczną
Średnia arytmetyczna dodaje wartości i dzieli przez n. Średnia geometryczna je mnoży i bierze pierwiastek n-tego stopnia:
Definicja
GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
Metoda logarytmiczna
GM = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
Dla 2 i 8 GM = √(2 × 8) = √16 = 4, podczas gdy średnia arytmetyczna wynosi 5. Dla przykładowych danych — 12, 18, 30, 45 i 200 — iloczyn to 58 320 000, a jego pierwiastek piątego stopnia to 35,74, podczas gdy średnia arytmetyczna 61 jest ciągnięta w górę przez jedną dużą wartość. Kalkulator używa metody logarytmicznej, bo to ta sama liczba obliczona bezpiecznie: iloczyn kilkuset zwykłych wartości może się przepełnić, ale suma ich logarytmów nigdy.
Średnie tempo wzrostu: dlaczego właściwa jest średnia geometryczna
Wzrost się składa, więc zmiany się mnożą. Wielkość, która rośnie o 10%, maleje o 5% i rośnie o 20%, zostaje pomnożona przez 1,10 × 0,95 × 1,20 = 1,254 — łączny wzrost o 25,4%. Stałe tempo, które daje ten sam wynik, to średnia geometryczna czynników wzrostu minus jeden: 1,2541/3 − 1 = 7,84% na okres.
Prosta średnia z trzech zmian, 8,33%, zawyża to: 1,0833 do sześcianu to 1,2714, więc zamieniałaby 100 w 127,14 zamiast w 125,40, które faktycznie masz. Różnica staje się dramatyczna przy zmiennych zmianach. Wzrost o 50%, a potem spadek o 50% daje średnio 0%, a jednak 100 staje się 150, a potem 75 — średnia geometryczna pokazuje prawdę: −13,4% na okres. To ten sam rachunek co tak zwana złożona roczna stopa wzrostu (CAGR).
Której średniej użyć?
| Średnia | Do czego | Przykład |
|---|---|---|
| Arytmetyczna | Wielkości, które się sumują | Wyniki testów, wzrost, dzienne temperatury |
| Geometryczna | Wielkości, które się mnożą, lub dane rozciągające się na rzędy wielkości | Stopy wzrostu, zwroty z inwestycji, stosunki, liczby indeksowe |
| Harmoniczna | Tempa mierzone przy stałej ilości czegoś | Średnia prędkość na równych odcinkach, wskaźniki cena–zysk, miara F1 |
Średnia harmoniczna to n ÷ Σ(1/x). Jedziesz w jedną stronę z prędkością 60 km/h, a z powrotem 40 km/h na tym samym dystansie — twoja średnia prędkość to 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/h, a nie 50, bo dłużej jechałeś wolniejszym odcinkiem. Dla dowolnych dodatnich danych trzy średnie układają się w porządku: harmoniczna ≤ geometryczna ≤ arytmetyczna.
Najczęstsze pytania
- Do czego służy średnia geometryczna?
- Uśrednia wielkości, które łączą się przez mnożenie: stopy wzrostu i zwroty z inwestycji w kilku okresach, stosunki i zmiany krotności oraz skośne dodatnie dane rozciągające się na kilka rzędów wielkości, na przykład liczebności bakterii czy miana przeciwciał. W każdym z tych przypadków daje typową wartość multiplikatywną, którą średnia arytmetyczna zawyża.
- Jak obliczyć średnią geometryczną?
- Pomnóż n wartości i weź pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu. Równoważnie uśrednij logarytmy naturalne wartości i podnieś wynik do potęgi, tak jak robią to kalkulatory i oprogramowanie. Dla 4, 9 i 6 iloczyn to 216, a pierwiastek sześcienny z 216 to 6.
- Dlaczego średnia geometryczna nie może używać zera ani liczb ujemnych?
- Pojedyncze zero sprawia, że cały iloczyn wynosi zero, bez względu na inne wartości, a logarytm zera lub liczby ujemnej jest nieokreślony. Przy wartościach ujemnych pierwiastek może nawet nie być liczbą rzeczywistą. Dlatego stopy wzrostu zamienia się na czynniki, na przykład 0,95 dla −5%: czynniki pozostają dodatnie, dopóki zmiana nie sięga −100%.
- Jak obliczyć średnie tempo wzrostu?
- Zamień każdą zmianę procentową na czynnik wzrostu (1 + zmiana ÷ 100), pomnóż czynniki, weź pierwiastek n-tego stopnia i odejmij 1. Dla +10%, −5% i +20% wynosi to 1,254^(1/3) − 1 = 7,84% na okres. Jeśli znasz tylko wartość początkową i końcową, ta sama idea daje złożoną roczną stopę wzrostu (CAGR) = (koniec ÷ początek)^(1/n) − 1.
- Czy średnia geometryczna jest zawsze mniejsza od arytmetycznej?
- Nigdy nie jest większa. Dla liczb dodatnich średnia geometryczna jest mniejsza lub równa arytmetycznej, a są sobie równe tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są takie same. Im bardziej rozrzucone wartości, tym większa różnica.
- Kiedy powinienem użyć średniej harmonicznej?
- Użyj jej do uśredniania tempa, gdy stała wielkość znajduje się w mianowniku tego tempa — średnia prędkość na równych dystansach, średnia cena zapłacona, gdy za każdym razem wydajesz tę samą kwotę, albo średnie wskaźniki cena–zysk. Miara F1 w uczeniu maszynowym to średnia harmoniczna precyzji i czułości, która nie pozwala, by wysoka wartość zasłoniła niską.