Kalkulator twierdzenia Bayesa

Ułamki, np. 1/250, oraz wartości ze znakiem %, też działają.

Jak korzystać z kalkulatora twierdzenia Bayesa

1. 1. Wybierz, co wiesz. Zwykle jest to prawdopodobieństwo a priori P(A), prawdopodobieństwo dowodu, gdy A jest prawdziwe, P(B|A), oraz gdy A jest fałszywe, P(B|nie A). Jeśli znasz natomiast ogólne P(B), przełącz się na drugą opcję.
2. 2. Wybierz procenty lub ułamki dziesiętne. W trybie procentowym wpisz 1 dla 1%, a w trybie dziesiętnym 0,01. Ułamki, takie jak 1/250, działają w obu.
3. 3. Odczytaj P(A|B). Wynik a posteriori pojawia się razem z P(B) i prawdopodobieństwami po wyniku ujemnym: P(A|nie B) i P(nie A|nie B).
4. 4. Sprawdź tabelę osób. Te same liczby jako liczności z 1 000, 10 000 lub 100 000 osób pokazują, skąd bierze się wynik.

Twierdzenie Bayesa

P(A) to prawdopodobieństwo a priori — jak bardzo prawdopodobne było A, zanim zobaczyłeś dowód. P(B|A) to wiarygodność dowodu, gdy A jest prawdziwe, a P(B|nie A) — gdy A jest fałszywe. P(B) to to, jak często dowód w ogóle się pojawia. Wynik, P(A|B), to prawdopodobieństwo a posteriori: jak bardzo prawdopodobne jest A teraz, gdy widzisz B. W teście diagnostycznym są to odpowiednio: częstość występowania choroby, czułość, odsetek wyników fałszywie dodatnich (1 − swoistość) oraz dodatnia wartość predykcyjna.

Klasyczny przykład z testem medycznym

Choroba dotyka 1% osób. Test przesiewowy wykrywa ją w 90% przypadków (czułość), ale daje wynik dodatni także u 9% osób, które nie są chore. Ktoś ma wynik dodatni. Jak bardzo prawdopodobne, że jest chory? Wiele osób zgaduje wartość bliską 90%. Twierdzenie Bayesa mówi: P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, więc P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = 9,17%.

Liczone w osobach odpowiedź jest łatwa do zobaczenia: spośród 981 wyników dodatnich tylko 90 pochodzi od osób chorych, a 90 ÷ 981 = 9,17%. Test nie jest zły — choroba jest rzadka, więc 9% fałszywie dodatnich wśród 9 900 zdrowych osób przytłacza prawdziwie dodatnich wśród 100 chorych. Psychologowie Gerd Gigerenzer i Ulrich Hoffrage (1995) pokazali, że przedstawienie problemów jako częstości naturalnych, takich jak te, pozwala ludziom rozumować znacznie dokładniej niż podanie samych prawdopodobieństw.

Dlaczego prawdopodobieństwo a priori ma tak duże znaczenie

Zachowaj ten sam test, ale zastosuj go tam, gdzie choroba dotyka 10% pacjentów — w poradni specjalistycznej, a nie w badaniu przesiewowym populacji — a dodatni wynik oznacza 52,63% szans na chorobę. Możesz też powtórzyć test: jeśli pierwszy dodatni wynik podnosi prawdopodobieństwo do 9,17%, użyj tej wartości jako nowego prawdopodobieństwa a priori; drugi dodatni wynik (z niezależnego testu o tej samej dokładności) podnosi je do 50,25%. Dlatego programy przesiewowe potwierdzają dodatnie wyniki drugim testem i dlaczego ten sam dowód znaczy co innego w różnych populacjach.

Ignorowanie prawdopodobieństwa a priori to błąd częstości bazowej i nie jest to wyłącznie problem medyczny. Filtry spamu, dowody sądowe, alerty o oszustwach i klasyfikatory uczenia maszynowego mierzą się z tym samym: gdy szukana rzecz jest rzadka, większość alarmów jest fałszywa, nawet gdy detektor jest dobry.

Najczęstsze pytania

Czym w prostych słowach jest twierdzenie Bayesa?

To reguła aktualizacji prawdopodobieństwa, gdy pojawia się nowy dowód. Zacznij od tego, jak prawdopodobne coś było wcześniej (prawdopodobieństwo a priori), oceń, o ile bardziej prawdopodobny jest dowód, gdy to coś jest prawdziwe, niż gdy jest fałszywe, a otrzymasz zaktualizowane prawdopodobieństwo (a posteriori). Wzór to P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

Jaka jest różnica między P(A|B) a P(B|A)?

Odpowiadają na przeciwne pytania. P(B|A) to szansa na dodatni wynik testu, jeśli masz chorobę — czułość, 90% w przykładzie. P(A|B) to szansa, że masz chorobę, jeśli wynik testu jest dodatni — 9,17% w przykładzie. Pomylenie tych dwóch — błąd odwrócenia warunkowego, a w sądzie błąd prokuratora — to jeden z najczęstszych błędów w rozumowaniu o dowodach.

Jak znaleźć P(B) do twierdzenia Bayesa?

Zwykle oblicza się je z prawa prawdopodobieństwa całkowitego: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|nie A) × (1 − P(A)). To pierwszy tryb tego kalkulatora. Jeśli znasz już P(B) — na przykład z danych z badania — użyj drugiego trybu, a kalkulator wyliczy wynikające P(B|nie A).

Czym są czułość i swoistość?

Czułość to odsetek osób z chorobą, u których test daje wynik dodatni, P(dodatni|choroba). Swoistość to odsetek osób bez choroby, u których test daje wynik ujemny, P(ujemny|brak choroby). Odsetek wyników fałszywie dodatnich, o który pyta ten kalkulator, to 1 − swoistość, więc test o swoistości 91% ma odsetek fałszywie dodatnich 9%.

Czym jest błąd częstości bazowej?

To ocenianie prawdopodobieństwa czegoś na podstawie tego, jak dobrze dowód do tego pasuje, przy ignorowaniu tego, jak częste to coś jest w ogóle. Przy rzadkiej chorobie nawet dodatni wynik dokładnego testu zwykle dotyczy osoby bez choroby, bo takich osób jest znacznie więcej.

Czy można użyć twierdzenia Bayesa przy więcej niż dwóch wynikach?

Tak. Przy kilku wzajemnie wykluczających się hipotezach A₁, A₂, … mianownik staje się sumą P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) po wszystkich z nich. Ten kalkulator obsługuje częsty przypadek dwóch wyników — A albo nie A — który obejmuje testy diagnostyczne, badania przesiewowe i większość zadań z podręczników.