贝叶斯定理计算器

分数如 1/250,以及带 % 符号的数值,同样可以输入。

如何使用贝叶斯定理计算器

1. 1. 选择您已知的条件。 通常是先验概率 P(A)、A 为真时证据出现的概率 P(B|A),以及 A 为假时的概率 P(B|not A)。如果您已知的是总体概率 P(B),请切换到第二个选项。
2. 2. 选择百分数或小数。 在百分数模式下输入 1 表示 1%;在小数模式下输入 0.01。分数如 1/250 两种模式都可以使用。
3. 3. 读取 P(A|B)。 后验概率会与 P(B),以及阴性结果之后的概率 P(A|not B) 和 P(not A|not B) 一同显示。
4. 4. 核对人数表。 把同样的数字换算成 1,000、10,000 或 100,000 人中的人数,即可看出答案的来源。

贝叶斯定理

P(A) 是先验概率——在看到证据之前,A 有多大可能。P(B|A) 是 A 为真时证据的似然,P(B|not A) 则是 A 为假时的似然。P(B) 是证据在总体中出现的频率。结果 P(A|B) 是后验概率:看到 B 之后,A 现在有多大可能。在诊断检验中,这些分别对应患病率、灵敏度、假阳性率(1 − 特异度)以及阳性预测值。

经典医学检验示例

某种疾病影响 1% 的人群。一项筛查检验对患者的检出率为 90%(灵敏度),但对没有患病的人中也有 9% 检测为阳性。某人检测结果为阳性。他真正患病的可能性有多大?许多人会猜接近 90%。贝叶斯定理给出:P(B) = 0.9 × 0.01 + 0.09 × 0.99 = 0.0981,因此 P(A|B) = 0.009 ÷ 0.0981 = 9.17%。

以人数计算,答案很容易看出:在 981 个阳性结果中,只有 90 个来自患病者,而 90 ÷ 981 = 9.17%。这项检验本身并不差——问题在于该病很罕见,因此 9,900 名健康者中的 9% 假阳性,远远盖过了 100 名患者中的真阳性。心理学家格尔德·吉仁泽与乌尔里希·霍夫拉格(1995)表明,以这类自然频数来呈现问题,人们的推理会比以概率来呈现准确得多。

为什么先验概率如此重要

保持同一检验不变,但把它用在该病影响 10% 患者的地方——专科门诊而非人群筛查——那么阳性结果意味着 52.63% 的患病概率。或者再测一次:如果首次阳性把概率提高到 9.17%,将其作为新的先验概率,那么第二次阳性结果(来自准确度相同的独立检验)会把概率提升到 50.25%。这就是筛查项目用第二次检验确认阳性结果的原因,也是同样的证据在不同人群中意义不同的原因。

忽略先验概率就是基准率谬误,它不仅是医学问题。垃圾邮件过滤、司法证据、欺诈警报和机器学习分类器都会遇到这一问题:当您要寻找的事物很罕见时,即使检测器很好,大多数警报也都是误报。

常见问题

简单来说,什么是贝叶斯定理?

它是在获得新证据时更新概率的规则。先估计事情在此之前的可能性(先验概率),再权衡证据在它为真时出现的可能性比它为假时高多少,就得到更新后的概率(后验概率)。公式为 P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B)。

P(A|B) 与 P(B|A) 有什么区别?

二者回答的是相反的问题。P(B|A) 是患病者检测呈阳性的概率,即灵敏度,示例中为 90%。P(A|B) 是检测呈阳性者确实患病的概率,示例中为 9.17%。把二者混为一谈——即条件倒置的谬误,在法庭上称为检控官谬误——是推理证据时最常见的错误之一。

如何求贝叶斯定理中的 P(B)?

通常用全概率公式计算:P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|not A) × (1 − P(A))。这就是本工具的第一种输入模式。如果您已经知道 P(B),例如来自调查数据,请使用第二种模式,计算器会推算出隐含的 P(B|not A)。

什么是灵敏度与特异度?

灵敏度是患病者中检测呈阳性的比例,即 P(阳性|患病)。特异度是未患病者中检测呈阴性的比例,即 P(阴性|未患病)。本计算器要求输入的假阳性率为 1 − 特异度,因此特异度为 91% 的检验,其假阳性率为 9%。

什么是基准率谬误?

它是只根据证据与某事物的吻合程度来判断其概率,却忽略该事物本身有多常见。对于罕见病,即使是准确检测的阳性结果,通常也来自未患病者,因为未患病者的人数多得多。

贝叶斯定理能否用于两个以上的结果?

可以。若有若干互斥假设 A₁、A₂ …,分母就变为对所有假设求 P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) 之和。本计算器处理常见的两结果情形,即 A 或非 A,这涵盖了诊断检验、筛查以及大多数教科书题目。