베이즈 정리 계산기

1/250 같은 분수나 % 기호가 붙은 값도 입력할 수 있습니다.

베이즈 정리 계산기 사용 방법

1. 1. 아는 값을 고르세요. 보통은 사전 확률 P(A), A가 참일 때 증거가 나올 확률 P(B|A), A가 거짓일 때 나올 확률 P(B|not A)입니다. 대신 전체 P(B)를 알고 있다면 두 번째 옵션으로 바꾸세요.
2. 2. 백분율 또는 소수를 고르세요. 백분율 모드에서는 1%를 1로, 소수 모드에서는 0.01로 입력합니다. 1/250 같은 분수는 어느 모드에서든 쓸 수 있습니다.
3. 3. P(A|B)를 읽으세요. 사후 확률이 P(B), 그리고 음성 결과 후의 확률 P(A|not B)와 P(not A|not B)와 함께 나타납니다.
4. 4. 사람 수 표를 확인하세요. 같은 숫자를 1,000명, 10,000명 또는 100,000명 중 몇 명인지로 세어 보면, 답이 어디서 나오는지 보입니다.

베이즈 정리

P(A)는 사전 확률로, 증거를 보기 전에 A가 얼마나 그럴듯했는지입니다. P(B|A)는 A가 참일 때 증거의 우도이며, P(B|not A)는 A가 거짓일 때의 우도입니다. P(B)는 전체적으로 그 증거가 나오는 빈도입니다. 결과인 P(A|B)는 사후 확률로, B를 본 지금 A가 얼마나 그럴듯한지입니다. 진단 검사에서 이것들은 각각 유병률, 민감도, 위양성률(1 − 특이도), 양성 예측도에 해당합니다.

고전적인 의료 검사 예시

어떤 질환이 전체 인구의 1%에게 나타납니다. 선별 검사는 질환이 있는 사람을 90%의 확률로 찾아내지만(민감도), 질환이 없는 사람의 9%에게서도 양성이 나옵니다. 누군가 양성 결과를 받았습니다. 그 사람이 실제로 질환을 가졌을 확률은 얼마일까요? 많은 사람이 90%에 가깝다고 짐작합니다. 베이즈 정리에 따르면 P(B) = 0.9 × 0.01 + 0.09 × 0.99 = 0.0981이므로, P(A|B) = 0.009 ÷ 0.0981 = 9.17%입니다.

사람 단위로 세면 답이 쉽게 보입니다. 양성 결과 981건 가운데 질환이 있는 사람에게서 나온 것은 90건뿐이며, 90 ÷ 981 = 9.17%입니다. 검사가 나쁜 것은 아닙니다. 질환이 드물기 때문에, 질환이 없는 9,900명의 9%에서 나온 위양성이 질환이 있는 100명의 진양성을 압도하는 것입니다. 심리학자 게르트 기거렌처와 울리히 호프라게(1995)는 확률 대신 이처럼 자연 빈도로 문제를 제시하면 사람들이 훨씬 정확하게 추론한다는 것을 보였습니다.

사전 확률이 왜 그토록 중요한가

같은 검사를 질환이 환자의 10%에게 나타나는 전문 클리닉에 적용하면, 양성 결과는 52.63%의 확률로 질환이 있음을 뜻합니다. 또는 재검사를 해 보세요. 첫 번째 양성 결과가 확률을 9.17%로 올린다면 그 값을 새 사전 확률로 쓰고, 독립적이며 정확도가 같은 검사에서 두 번째 양성이 나오면 확률은 50.25%로 올라갑니다. 그래서 선별 검사 프로그램은 양성 결과를 두 번째 검사로 확인하며, 같은 증거라도 집단에 따라 의미가 달라지는 것입니다.

사전 확률을 무시하는 것이 기저율 오류이며, 이는 의학만의 문제가 아닙니다. 스팸 필터, 법의학적 증거, 사기 경보, 머신러닝 분류기 모두 이 문제에 직면합니다. 찾는 대상이 드물면, 탐지기가 아무리 좋아도 대부분의 경보는 거짓입니다.

자주 묻는 질문

베이즈 정리란 쉽게 말해 무엇인가요?

새로운 증거를 얻었을 때 확률을 갱신하는 규칙입니다. 먼저 그 일이 미리 얼마나 그럴듯했는지(사전 확률)를 정하고, 그것이 참일 때 증거가 거짓일 때보다 얼마나 더 자주 나오는지를 따지면 갱신된 확률(사후 확률)이 나옵니다. 공식은 P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B)입니다.

P(A|B)와 P(B|A)는 어떻게 다른가요?

서로 반대되는 질문에 답합니다. P(B|A)는 질환이 있을 때 양성이 나올 확률, 즉 예시의 민감도 90%입니다. P(A|B)는 양성 결과를 받았을 때 질환이 있을 확률, 즉 예시에서는 9.17%입니다. 둘을 혼동하는 것은 조건 뒤바꾸기 오류(법정에서는 검사의 오류)라고 하며, 증거에 대해 추론할 때 가장 흔한 실수 가운데 하나입니다.

베이즈 정리에서 P(B)는 어떻게 구하나요?

보통은 전체 확률의 법칙으로 계산합니다. P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|not A) × (1 − P(A))입니다. 이것이 이 계산기의 첫 번째 입력 모드입니다. P(B)를 이미 알고 있다면(예를 들어 설문 자료에서), 두 번째 모드를 쓰세요. 그러면 계산기가 암묵적인 P(B|not A)를 구해 줍니다.

민감도와 특이도는 무엇인가요?

민감도는 질환이 있는 사람 가운데 양성이 나오는 비율, 즉 P(양성|질환)입니다. 특이도는 질환이 없는 사람 가운데 음성이 나오는 비율, 즉 P(음성|질환 없음)입니다. 이 계산기가 묻는 위양성률은 1 − 특이도이므로, 특이도가 91%인 검사의 위양성률은 9%입니다.

기저율 오류란 무엇인가요?

증거가 사건에 얼마나 잘 들어맞는지만 보고, 그 사건이 애초에 얼마나 흔한지는 무시하며 확률을 판단하는 것입니다. 질환이 드물면, 정확한 검사에서 나온 양성 결과도 대개는 질환이 없는 사람에게서 나오는데, 그런 사람이 훨씬 많기 때문입니다.

두 가지보다 많은 결과에도 베이즈 정리를 쓸 수 있나요?

네. 서로 배타적인 가설 A₁, A₂, …가 여러 개 있으면, 분모는 이들 모두에 대한 P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ)의 합이 됩니다. 이 계산기는 흔한 두 결과의 경우, 즉 A이거나 A가 아닌 경우를 다루며, 이는 진단 검사, 선별 검사, 대부분의 교과서 문제를 포괄합니다.