ベイズの定理計算ツール
事前確率と2つの条件付き確率を、事後確率P(A|B)に変換します。たとえば、検査で陽性になった人が本当に病気である確率です。数値を当てはめたベイズの公式の計算過程と、直感的に分かる人数の度数表が表示されます。
1/250のような分数や、% 記号付きの値も使えます。
3つの確率をすべて入力してください。それぞれ0〜100%（または0〜1）の範囲です。
ベイズの定理計算ツールの使い方
- 1. 既知の情報を選びます。 通常は事前確率P(A)、Aが真のときに証拠Bが見られる確率P(B|A)、Aが偽のときのP(B|not A)です。全体のP(B)が分かっている場合は、2つ目の選択肢に切り替えます。
- 2. 百分率か小数かを選びます。 百分率モードでは1%を1と入力し、小数モードでは0.01と入力します。1/250のような分数は、どちらのモードでも使えます。
- 3. P(A|B)を読み取ります。 事後確率がP(B)とともに表示されます。さらに、陰性の結果が出た後の確率P(A|not B)とP(not A|not B)も表示されます。
- 4. 人数の表を確認します。 同じ数字を、1,000人、1万人、10万人のうちの人数として表すと、答えがどこから来るのかが分かります。
ベイズの定理
ベイズの定理
P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B)
全確率の公式
P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|not A) × (1 − P(A))
P(A)は事前確率です。証拠を見る前に、Aがどれくらい起こりやすいと考えていたかを表します。P(B|A)は、Aが真のときに証拠Bが得られる確率である尤度です。P(B|not A)は、Aが偽のときの尤度です。P(B)は、全体として証拠Bが出現する頻度です。結果のP(A|B)は事後確率で、Bを見た後にAがどれくらい起こりやすいかを表します。診断検査では、これらはそれぞれ有病率、感度、偽陽性率（1 − 特異度）、陽性的中率に当たります。
古典的な医療検査の例
ある病気は人口の1%に起こります。検査では、病気のある人の90%で陽性になります（感度）。しかし、病気のない人の9%でも陽性になります。ある人が検査で陽性になりました。その人が本当に病気である確率はどれくらいでしょうか。90%近いと推測する人が多いのですが、ベイズの定理によれば、P(B) = 0.9 × 0.01 + 0.09 × 0.99 = 0.0981 なので、P(A|B) = 0.009 ÷ 0.0981 = 9.17% です。
| 検査陽性 | 検査陰性 | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 病気がある | 90 | 10 | 100 |
| 病気がない | 891 | 9,009 | 9,900 |
| 合計 | 981 | 9,019 | 10,000 |
人数で数えると、答えは明らかです。陽性の981人のうち、病気のある人は90人だけで、90 ÷ 981 = 9.17% です。この検査が悪いわけではありません。病気はまれなので、病気のない9,900人の9%の偽陽性が、病気のある100人の真陽性を圧倒してしまうのです。心理学者のGerd GigerenzerとUlrich Hoffrage（1995）は、確率ではなくこのような度数（人数）で問題を示すと、人はずっと正確に推論できることを示しました。
事前確率が重要な理由
同じ検査を、病気が患者の10%に起こる専門クリニックで使うと、陽性の結果は52.63%の確率を意味します（一般住民の検診ではなく）。再検査することもできます。最初の陽性で確率が9.17%に上がったら、それを新しい事前確率として使います。同じ精度の独立した検査で2回目も陽性なら、確率は50.25%まで上がります。スクリーニング・プログラムが陽性を2回目の検査で確認するのも、同じ証拠が集団によって意味を変えるのも、このためです。
事前確率を無視することは基準率の誤謬であり、医療だけの問題ではありません。スパムフィルター、法医学的証拠、不正検知、機械学習の分類器も同じ問題に直面します。探している対象がまれなとき、検出器が優れていても、アラームの多くは誤りになります。
よくある質問
- ベイズの定理とは簡単に言うと何ですか？
- 新しい証拠を得たときに、確率を更新するための規則です。まず、証拠を見る前にそれがどれくらい起こりやすかったか（事前確率）から始めます。次に、それが真のときに証拠が偽のときより何倍起こりやすいかを考慮すると、更新された確率（事後確率）が得られます。公式はP(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B)です。
- P(A|B)とP(B|A)の違いは何ですか？
- 両者は反対の問いに答えます。P(B|A)は、病気がある場合に検査が陽性になる確率で、例では感度の90%です。P(A|B)は、検査で陽性になった場合に病気がある確率で、例では9.17%です。両者を取り違えること（条件の転倒、法廷では検察官の誤謬）は、証拠について推論するときに最もよくある誤りの一つです。
- ベイズの定理のP(B)はどのように求めますか？
- 通常は全確率の公式で計算します。P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|not A) × (1 − P(A))。これがこのツールの最初の入力モードです。たとえば調査データなどからP(B)がすでに分かっている場合は、2つ目のモードを使えば、ツールが暗黙のP(B|not A)を計算します。
- 感度と特異度とは何ですか？
- 感度は、病気のある人のうち陽性になる人の割合で、P(陽性|病気)です。特異度は、病気のない人のうち陰性になる人の割合で、P(陰性|病気なし)です。このツールが求める偽陽性率は1 − 特異度です。つまり、特異度91%の検査の偽陽性率は9%です。
- 基準率の誤謬とは何ですか？
- ある事柄がどれくらい一般的かを無視し、証拠がその事柄にどれだけ合致するかだけで確率を判断することです。病気がまれな場合、正確な検査で陽性になっても、たいていは病気のない人です。病気のない人のほうがずっと多いからです。
- ベイズの定理は2つより多い結果でも使えますか？
- はい。互いに排他的な仮説A₁, A₂, …がある場合、分母はすべてのAᵢについてP(B|Aᵢ) × P(Aᵢ)の和になります。このツールは、AかAでないかという2つの結果の場合を扱います。これは、診断検査、スクリーニング、教科書の問題の大半に当たります。