期待値計算ツール
起こりうる結果と、その確率（小数、パーセント、1/6 のような分数）または各結果が起きた回数を入力すると、期待値 E(X)、分散、標準偏差と計算表が得られます。確率の合計が1になるかも確認し、さいころゲーム、保険契約、宝くじの例を読み込めます。無料で、登録は不要です。
0件の結果を読み取りました。 確率は小数（0.25）、パーセント（25%）、分数（1/4）で書けます。数字の前の言葉は無視されるので、各行に名前を付けられます。
例を試す
結果を1行に1つずつ、少なくとも2つ入力してください。
期待値計算ツールの使い方
- 1. 確率か度数かを選びます。 理論上の分布には確率を使い、回数がわかっている場合は度数を使います。度数は合計で割られて確率に変換されます。
- 2. 1行に1つの結果を入力します。 値を先に、次に確率または度数を書きます。例：
3, 1/6。数字の前にある言葉は無視されるため、勝ち: 六の目が出る, 3, 1/6のように行に名前を付けられます。 - 3. E(X)、分散、標準偏差を読みます。 確率の合計が1でない場合は、誤った答えを出さずにその旨を示します。1との差が0.01以内であれば、丸めによるずれとして受け入れます。
- 4. 計算表をたどります。 各行には x × P(x) と (x − μ)² × P(x) が示され、それぞれの列の合計が期待値と分散になります。
期待値、分散、標準偏差
期待値
E(X) = μ = Σ x × P(x)
分散
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
標準偏差
SD(X) = √Var(X)
期待値は、各結果をその起こりやすさで重み付けしたものです。意味を持つためには、すべての確率が0以上1以下であり、合計がちょうど1になる必要があります。つまり、起こりうるすべての結果がちょうど一度ずつ挙げられている必要があります。分散は、結果が期待値からどれくらい離れやすいかを測るもので、リスクの指標になります。同じ E(X) でも、ばらつきが大きく異なる賭けがあります。
度数を使う場合は、各度数を合計で割って経験確率を求めます。20世帯について子どもの数が0、1、2、3人の世帯の数が 4、9、5、2 だとすると、確率は 0.2、0.45、0.25、0.1 となり、E(X) = 1.25人、標準偏差は 0.8874 です。期待値は、実際には起こりえない値になることもある、という点に注意してください。
3つの具体例
| 例 | 結果 | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| さいころゲーム | 確率1/6で3ドル得る。確率5/6で1ドル失う | −0.33ドル | 1.49ドル |
| 保険、保険会社の視点 | 確率0.998で200ドルの保険料を受け取る。確率0.002で差し引き49,800ドルを支払う | +100ドル | 2,233.83ドル |
| 宝くじ | 確率0.001で差し引き499ドルの賞金を得る。確率0.999で1ドルの掛け金を失う | −0.50ドル | 15.80ドル |
さいころゲーム。 1ドル払ってさいころを1回振り、6が出ると4ドルを受け取るので、純利益は3ドルです。E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3 で、1回あたり平均で約33セント失います。600回プレイすると、約200ドルの損失が見込まれます。
保険契約。 保険会社は、0.2%の確率で50,000ドルを支払う保険を年200ドルで販売します。保険会社の期待利益は 200 × 0.998 + (−49,800) × 0.002 = 1契約あたり100ドルです。つまり契約者にとっての期待値は−100ドルです。それでも購入が合理的なことがあります。契約者は小さく確実な損失と引き換えに、大きな損失からの保護を得るからです。2,233.83ドルの標準偏差は、引き受けられるリスクの大きさを表します。
宝くじ。 1ドルのピック3の券は、3桁の数字が当たると500ドルを得られます（1000分の1の確率）。E(X) = 499 × 0.001 + (−1) × 0.999 = −0.50 です。平均すると、賭けた1ドルにつき50セントが失われます。
よくある質問
- 期待値はどう計算しますか？
- 各結果にその確率を掛け、積をすべて足します。E(X) = Σ x × P(x) です。公正な6面のさいころでは、E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3.5 です。上の計算表には、あなたの分布の各積が示されます。
- 期待値は負になりますか？
- はい。期待値が負であることは、多数回繰り返すと平均して損をすることを意味します。カジノのゲームや宝くじに典型的で、運営側が利益の差を組み込んでいるためです。符号は結果の定め方によって変わります。保険会社の+100ドルは、契約者にとっては−100ドルです。
- 期待値と平均は違いますか？
- 期待値は確率分布の平均です。無限に多くの試行を行った場合の長期的な平均です。標本平均は、実際に観測したデータの平均です。大数の法則により、独立な試行の標本平均は、試行回数が増えるにつれて期待値に近づきます。
- 確率の合計は1でなければなりませんか？
- はい。有効な確率分布は、起こりうるすべての結果をちょうど一度ずつ挙げるため、確率の合計は1になります。合計が1でない場合は、結果が抜けているか、二重に数えられているか、あるいは数値が実は度数であるかのいずれかです。その場合は度数に切り替えると、ツールが確率に変換します。
- 確率分布の分散はどう求めますか？
- 各結果の期待値からの距離を2乗し、その確率を掛けて足します。Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) です。近道として Var(X) = Σ x² × P(x) − μ² でも同じ答えになります。標準偏差は分散の平方根で、結果と同じ単位になります。
- 期待値が負なのに、なぜ人は宝くじを買うのですか？
- 期待値は長期的な平均を表しますが、人は平均だけで決めるわけではありません。宝くじは、わずかな費用で人生を変えるほどの大金を得る小さな可能性を与え、保険は予測できる費用で破滅的な損失を取り除きます。意思決定理論では、これを効用で捉えます。結果を額面ではなく、もたらす結果の価値で評価するのです。