Công Cụ Tính Giá Trị Kỳ Vọng

Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Giá Trị Kỳ Vọng

1. 1. Chọn xác suất hoặc tần số. Dùng xác suất cho một phân phối lý thuyết, và dùng tần số khi bạn có số đếm — công cụ sẽ chia chúng cho tổng của chúng.
2. 2. Nhập mỗi kết quả trên một dòng. Giá trị đứng trước, rồi đến xác suất hoặc tần số của nó: 3; 1/6. Chữ đứng trước các số bị bỏ qua, nên một dòng có thể là Thắng: tung được số sáu; 3; 1/6. Khi xác suất có dấu phẩy thập phân, hãy dùng dấu chấm phẩy để tách các số, như 3; 0,25.
3. 3. Đọc E(X), phương sai và SD. Nếu các xác suất không cộng lại bằng 1, công cụ sẽ báo điều đó thay vì đưa ra một kết quả gây hiểu lầm; tổng nằm trong vòng 0,01 so với 1 được chấp nhận như làm tròn.
4. 4. Theo dõi bảng tính. Mỗi dòng cho thấy x × P(x) và (x − μ)² × P(x); tổng của các cột là giá trị kỳ vọng và phương sai.

Giá Trị Kỳ Vọng, Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn

Giá trị kỳ vọng cân nhắc mỗi kết quả theo khả năng xảy ra của nó. Để có ý nghĩa, mỗi xác suất phải nằm giữa 0 và 1, và tất cả cộng lại phải đúng bằng 1 — mỗi kết quả có thể xảy ra được liệt kê đúng một lần. Phương sai đo mức độ các kết quả thường lệch khỏi giá trị kỳ vọng như thế nào, nên nó là thước đo rủi ro: hai cược có thể có cùng E(X) nhưng độ phân tán rất khác nhau.

Với tần số, mỗi số đếm được chia cho tổng để có xác suất thực nghiệm. Nếu 20 gia đình có 0, 1, 2 hoặc 3 con, với số đếm lần lượt là 4, 9, 5 và 2, thì các xác suất là 0,2; 0,45; 0,25 và 0,1, và E(X) = 1,25 con, với SD là 0,8874 — một lời nhắc rằng giá trị kỳ vọng không nhất thiết phải là một giá trị có thể thực sự xảy ra.

Ba Ví Dụ Minh Họa

Trò chơi xúc xắc. Bạn trả 1 $ để tung một con xúc xắc và thắng 4 $ nếu ra số sáu, tức lãi ròng 3 $. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, nên trung bình bạn thua khoảng 33 xu mỗi ván. Chơi 600 ván, bạn nên kỳ vọng thua khoảng 200 $.

Hợp đồng bảo hiểm. Một công ty bảo hiểm thu 200 $ mỗi năm cho một hợp đồng chi trả 50.000 $ với xác suất 0,2%. Lợi nhuận kỳ vọng của công ty là 200 × 0,998 + (−49.800) × 0,002 = 100 $ mỗi hợp đồng — nên đối với khách hàng, giá trị kỳ vọng là −100 $. Việc mua vẫn có thể hợp lý: khách hàng đánh đổi một khoản thua nhỏ, chắc chắn để được bảo vệ trước một khoản thua lớn, và SD là 2.233,83 $ chính là rủi ro được chuyển đi.

Vé số. Một vé chọn ba chữ số giá 1 $ trả 500 $ nếu ba chữ số của bạn về — tức xác suất 1 trên 1.000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: trung bình, khoảng một nửa số tiền đặt cược bị mất.

Câu Hỏi Thường Gặp

Làm thế nào để tính giá trị kỳ vọng?

Nhân mỗi kết quả có thể xảy ra với xác suất của nó rồi cộng các tích lại: E(X) = Σ x × P(x). Với một xúc xắc sáu mặt cân đối, E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. Bảng tính phía trên cho thấy từng tích đối với phân phối của riêng bạn.

Giá trị kỳ vọng có thể âm không?

Có. Giá trị kỳ vọng âm nghĩa là, trung bình qua nhiều lần lặp lại, bạn sẽ thua — điều thường thấy ở các trò chơi trong sòng bạc và xổ số, nơi nhà cái tạo sẵn lợi thế. Dấu của nó phụ thuộc vào cách bạn định nghĩa các kết quả: +100 $ của công ty bảo hiểm chính là −100 $ của khách hàng.

Giá trị kỳ vọng khác trung bình ở điểm nào?

Giá trị kỳ vọng là trung bình của một phân phối xác suất — mức trung bình dài hạn bạn sẽ nhận được qua vô số lần thử. Trung bình mẫu là trung bình của dữ liệu bạn thực sự quan sát được. Theo định luật số lớn, trung bình mẫu của nhiều lần thử độc lập sẽ ngày càng gần giá trị kỳ vọng.

Các xác suất có bắt buộc phải cộng lại bằng 1 không?

Có. Một phân phối xác suất hợp lệ liệt kê mọi kết quả có thể xảy ra đúng một lần, nên các xác suất phải có tổng bằng 1. Nếu không, thì thiếu một kết quả, có một kết quả bị tính hai lần, hoặc các số thực ra là số đếm — khi đó hãy chuyển sang tần số và công cụ sẽ tự quy đổi.

Làm thế nào để tìm phương sai của một phân phối xác suất?

Bình phương khoảng cách của mỗi kết quả tới giá trị kỳ vọng, nhân với xác suất của nó, rồi cộng lại: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Một cách rút gọn cho cùng kết quả là Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, cùng đơn vị với các kết quả.

Tại sao người ta vẫn mua vé số nếu giá trị kỳ vọng là âm?

Giá trị kỳ vọng mô tả mức trung bình dài hạn, và con người không chỉ quyết định dựa trên trung bình. Vé số mang đến một cơ hội nhỏ để trúng một khoản tiền có thể đổi đời với chi phí nhỏ, còn bảo hiểm loại bỏ một tổn thất có thể làm kiệt quệ với một chi phí có thể dự đoán. Lý thuyết quyết định mô tả điều này bằng tiện ích — đánh giá các kết quả theo hệ quả của chúng thay vì giá trị danh nghĩa.