Calculadora de valor esperado
Liste os resultados possíveis com as suas probabilidades — decimais, porcentagens ou frações como 1/6 — ou com a frequência com que cada um ocorreu, e obtenha o valor esperado E(X), a variância e o desvio padrão, com uma tabela de cálculo. A calculadora verifica se as probabilidades somam 1 e carrega exemplos resolvidos de um jogo de dados, de um seguro e de um bilhete de loteria. Gratuito, sem cadastro.
0 resultado lido. As probabilidades podem ser decimais (0,25), porcentagens (25%) ou frações (1/4). Palavras antes dos números são ignoradas, então você pode rotular cada linha. Com vírgula decimal, separe o valor e a probabilidade com ponto e vírgula: 3; 0,25.
Experimentar um exemplo
Digite pelo menos dois resultados, um por linha.
Como usar a calculadora de valor esperado
- 1. Escolha probabilidades ou frequências. Use probabilidades para uma distribuição teórica, e frequências quando tiver contagens — a calculadora as divide pelo total.
- 2. Digite um resultado por linha. Primeiro o valor, depois a sua probabilidade ou frequência:
3, 1/6. Palavras antes dos números são ignoradas, então uma linha pode serVitória: tirar um seis, 3, 1/6. Se usar vírgula decimal, como em 0,25, separe o valor e a probabilidade com ponto e vírgula. - 3. Leia E(X), a variância e o DP. Se as probabilidades não somarem 1, a calculadora avisa em vez de produzir uma resposta enganosa; uma soma a menos de 0,01 de 1 é aceita como arredondamento.
- 4. Acompanhe a tabela. Cada linha mostra x × P(x) e (x − μ)² × P(x); os totais das colunas são o valor esperado e a variância.
Valor esperado, variância e desvio padrão
Valor esperado
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Variância
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Desvio padrão
DP(X) = √Var(X)
O valor esperado pondera cada resultado pela sua probabilidade. Para que faça sentido, cada probabilidade deve estar entre 0 e 1 e, juntas, elas devem somar exatamente 1 — cada resultado possível listado uma única vez. A variância mede quão longe os resultados costumam ficar do valor esperado, por isso é uma medida de risco: duas apostas podem ter o mesmo E(X) e dispersões muito diferentes.
Com frequências, cada contagem é dividida pelo total para dar uma probabilidade empírica. Se 20 famílias têm 0, 1, 2 ou 3 filhos, com contagens 4, 9, 5 e 2, as probabilidades são 0,2; 0,45; 0,25 e 0,1, e E(X) = 1,25 filho por família, com DP de 0,8874 — um lembrete de que o valor esperado não precisa ser um valor que de fato pode ocorrer.
Três exemplos resolvidos
| Exemplo | Resultados | E(X) | DP(X) |
|---|---|---|---|
| Jogo de dados | Ganha $3 com probabilidade 1/6; perde $1 com probabilidade 5/6 | −$0,33 | $1,49 |
| Seguro, visão da seguradora | Fica com o prêmio de $200 com probabilidade 0,998; paga $49.800 líquidos com probabilidade 0,002 | +$100 | $2.233,83 |
| Bilhete de loteria | Ganha $499 líquidos com probabilidade 0,001; perde a aposta de $1 com probabilidade 0,999 | −$0,50 | $15,80 |
O jogo de dados. Você paga $1 para jogar um dado e ganha $4 se tirar seis, um ganho líquido de $3. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, ou seja, em média você perde cerca de 33 centavos por jogo. Jogue 600 vezes e espere ficar cerca de $200 no prejuízo.
A apólice de seguro. Uma seguradora cobra $200 por ano por uma apólice que paga $50.000 com probabilidade de 0,2%. Seu lucro esperado é 200 × 0,998 + (−49.800) × 0,002 = $100 por apólice — então, para o cliente, o valor esperado é −$100. Comprar ainda pode ser racional: o cliente troca uma perda pequena e certa pela proteção contra uma perda grande, e o DP de $2.233,83 é o risco que ele transfere.
O bilhete de loteria. Um bilhete de $1 de pick-three paga $500 se os seus três dígitos saírem — uma chance de 1 em 1.000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: em média, metade de cada dólar apostado é perdida.
Perguntas frequentes
- Como se calcula o valor esperado?
- Multiplique cada resultado possível pela sua probabilidade e some os produtos: E(X) = Σ x × P(x). Para um dado justo de seis faces, E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. A tabela de cálculo acima mostra cada produto para a sua própria distribuição.
- O valor esperado pode ser negativo?
- Sim. Um valor esperado negativo significa que, em média, ao longo de muitas repetições, você perde — típico de jogos de cassino e loterias, em que o operador embute uma vantagem. O sinal depende de como você define os resultados: os +$100 da seguradora são os −$100 do cliente.
- Qual é a diferença entre valor esperado e média?
- O valor esperado é a média de uma distribuição de probabilidade — a média de longo prazo que você obteria com infinitas repetições. A média amostral é a média dos dados que você de fato observou. Pela lei dos grandes números, a média amostral de muitas tentativas independentes se aproxima cada vez mais do valor esperado.
- As probabilidades precisam somar 1?
- Sim. Uma distribuição de probabilidade válida lista todos os resultados possíveis exatamente uma vez, então as probabilidades devem somar 1. Se não somarem, falta um resultado, um foi contado duas vezes ou os números são na verdade contagens — nesse caso, mude para frequências, e a calculadora fará a conversão.
- Como se encontra a variância de uma distribuição de probabilidade?
- Eleve ao quadrado a distância de cada resultado até o valor esperado, multiplique pela probabilidade e some: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Um atalho dá a mesma resposta: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, na mesma unidade dos resultados.
- Por que as pessoas compram bilhetes de loteria se o valor esperado é negativo?
- O valor esperado descreve a média de longo prazo, e as pessoas não decidem apenas com base em médias. Uma loteria oferece uma pequena chance de uma quantia que muda a vida por uma aposta irrisória, e o seguro elimina uma perda devastadora por um custo previsível. A teoria da decisão capta isso com a utilidade — avaliando os resultados pelas suas consequências, e não pelo valor nominal.