기댓값 계산기
가능한 결과와 그 확률(소수, 백분율 또는 1/6 같은 분수)을 나열하거나, 각 결과가 나온 횟수를 입력하면 기댓값 E(X), 분산, 표준편차를 계산표와 함께 얻을 수 있습니다. 계산기는 확률의 합이 1인지 확인하며, 주사위 게임, 보험 증권, 복권의 실제 예시를 불러올 수 있습니다.
결과 0개를 읽었습니다. 확률은 소수(0.25), 백분율(25%) 또는 분수(1/4)로 쓸 수 있습니다. 숫자 앞의 단어는 무시되므로 각 줄에 이름을 붙일 수 있습니다.
예시 사용해 보기
결과를 한 줄에 하나씩 두 개 이상 입력하세요.
기댓값 계산기 사용 방법
- 1. 확률 또는 빈도를 고르세요. 이론적 분포라면 확률을, 횟수 자료가 있다면 빈도를 사용하세요. 계산기가 빈도를 총합으로 나눕니다.
- 2. 한 줄에 결과 하나씩 입력하세요. 값을 먼저, 그다음 확률이나 빈도를 씁니다:
3, 1/6. 숫자 앞의 단어는 무시되므로이김: 6이 나오면, 3, 1/6처럼 각 줄에 이름을 붙일 수 있습니다. - 3. E(X), 분산, SD를 읽으세요. 확률의 합이 1이 아니면 잘못된 답을 내는 대신 그 사실을 알려 줍니다. 1과 0.01 이내의 합은 반올림으로 보아 받아들입니다.
- 4. 계산표를 따라가세요. 각 행은 x × P(x)와 (x − μ)² × P(x)를 보여 주며, 열의 합계가 기댓값과 분산입니다.
기댓값, 분산 및 표준편차
기댓값
E(X) = μ = Σ x × P(x)
분산
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
표준편차
SD(X) = √Var(X)
기댓값은 각 결과에 그 결과가 나올 가능성을 곱해 가중 평균을 냅니다. 이것이 의미를 가지려면 모든 확률이 0과 1 사이에 있고, 합이 정확히 1이어야 합니다. 즉 가능한 결과가 모두 한 번씩 나열되어야 합니다. 분산은 결과가 기댓값에서 보통 얼마나 떨어져 있는지를 재므로 위험의 척도입니다. 기댓값은 같지만 흩어짐이 매우 다른 두 내기가 있을 수 있습니다.
빈도로 입력하면 각 횟수를 총합으로 나누어 경험적 확률을 얻습니다. 20가구가 0, 1, 2, 3명의 자녀를 두었고 그 횟수가 각각 4, 9, 5, 2라면, 확률은 0.2, 0.45, 0.25, 0.1이고 E(X) = 1.25명, 표준편차는 0.8874입니다. 기댓값이 실제로 나올 수 있는 값일 필요는 없다는 점을 상기시켜 줍니다.
실제 예시 세 가지
| 예시 | 결과 | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| 주사위 게임 | 확률 1/6로 3달러를 얻고, 확률 5/6로 1달러를 잃음 | −$0.33 | $1.49 |
| 보험, 보험사 관점 | 확률 0.998로 200달러 보험료를 보유하고, 확률 0.002로 순지급 49,800달러 | +$100 | $2,233.83 |
| 복권 | 확률 0.001로 순이익 499달러를 얻고, 확률 0.999로 1달러 참가비를 잃음 | −$0.50 | $15.80 |
주사위 게임. 주사위를 굴리려면 1달러를 내고, 6이 나오면 4달러를 받아 순이익이 3달러입니다. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3이므로, 게임당 평균 약 33센트를 잃습니다. 600번 하면 약 200달러를 잃을 것으로 예상할 수 있습니다.
보험 증권. 보험사는 연 200달러를 받고, 확률 0.2%로 50,000달러를 지급하는 증권을 팝니다. 증권 한 장당 보험사의 기대 이익은 200 × 0.998 + (−49,800) × 0.002 = 100달러이므로, 고객에게 기댓값은 −100달러입니다. 그래도 구매는 합리적일 수 있습니다. 고객은 작고 확실한 손실을 치르고 큰 손실에 대비하는 보호를 얻으며, 2,233.83달러의 표준편차는 보험사에 넘겨지는 위험의 크기입니다.
복권. 1달러짜리 세 자리 복권은 세 자리 숫자가 모두 맞으면 500달러를 받습니다. 즉 1,000분의 1의 확률입니다. E(X) = 499 × 0.001 + (−1) × 0.999 = −0.50. 평균적으로 건 돈 1달러당 절반이 사라집니다.
자주 묻는 질문
- 기댓값은 어떻게 계산하나요?
- 가능한 각 결과에 그 확률을 곱하고, 곱한 값들을 더합니다: E(X) = Σ x × P(x). 공정한 6면체 주사위라면 E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3.5입니다. 위의 계산표는 여러분의 분포에서 각 곱을 보여 줍니다.
- 기댓값이 음수일 수 있나요?
- 네. 음의 기댓값은 같은 시행을 여러 번 반복하면 평균적으로 잃는다는 뜻입니다. 운영자가 우위를 미리 설정해 두기 때문에 카지노 게임과 복권에서 흔합니다. 부호는 결과를 어떻게 정의하느냐에 따라 달라집니다. 보험사의 +100달러는 고객의 −100달러입니다.
- 기댓값과 평균은 어떻게 다른가요?
- 기댓값은 확률분포의 평균, 즉 무한히 많이 시행했을 때의 장기 평균입니다. 표본 평균은 실제로 관측한 자료의 평균입니다. 큰수의 법칙에 따르면 독립적인 시행을 많이 할수록 표본 평균은 기댓값에 점점 가까워집니다.
- 확률의 합은 반드시 1이어야 하나요?
- 네. 올바른 확률분포는 가능한 결과를 모두 정확히 한 번씩 나열하므로 확률의 합은 1이어야 합니다. 합이 1이 아니라면 결과가 빠졌거나, 하나가 두 번 세어졌거나, 숫자가 사실은 횟수인 경우입니다. 이때는 빈도로 바꾸면 계산기가 변환해 줍니다.
- 확률분포의 분산은 어떻게 구하나요?
- 각 결과가 기댓값에서 떨어진 거리를 제곱하고, 그 확률을 곱한 뒤 더합니다: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). 지름길을 쓰면 같은 답이 나옵니다: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². 표준편차는 분산의 제곱근이며, 결과와 같은 단위를 가집니다.
- 기댓값이 음수라면 사람들은 왜 복권을 사나요?
- 기댓값은 장기 평균을 설명할 뿐이고, 사람들은 평균만으로 결정하지 않습니다. 복권은 적은 돈으로 삶을 바꿀 만한 큰 금액을 얻을 작은 가능성을 주고, 보험은 예측 가능한 비용으로 파멸적인 손실을 없애 줍니다. 의사결정 이론은 이를 효용으로 설명하며, 결과를 액면가가 아니라 그것이 가져오는 결과로 평가합니다.