Calculadora de valor esperado
Escribe los posibles resultados con sus probabilidades —decimales, porcentajes o fracciones como 1/6— o con la frecuencia con que se dieron, y obtén el valor esperado E(X), la varianza y la desviación estándar, con una tabla de cálculo. La calculadora comprueba que las probabilidades sumen 1 y carga ejemplos resueltos de un juego de dados, una póliza de seguro y un billete de lotería. Gratis, sin registro.
0 resultados leídos. Las probabilidades pueden ser decimales (0,25), porcentajes (25 %) o fracciones (1/4). Si usas decimales con coma, separa el valor con punto y coma: 3; 0,25. Las palabras delante de los números se ignoran, así que puedes etiquetar cada línea.
Prueba un ejemplo
Introduce al menos dos resultados, uno por línea.
Cómo usar la calculadora de valor esperado
- 1. Elige probabilidades o frecuencias. Usa probabilidades para una distribución teórica, y frecuencias cuando tengas recuentos: la calculadora los divide entre su total.
- 2. Escribe un resultado por línea. Primero el valor y después su probabilidad o frecuencia:
3, 1/6. Las palabras delante de los números se ignoran, así que una línea puede decirGanar: sacar un seis, 3, 1/6. Si escribes decimales con coma, separa el valor con punto y coma, por ejemplo 3; 0,25. - 3. Lee E(X), la varianza y la desviación estándar. Si las probabilidades no suman 1, la calculadora lo indica en lugar de dar un resultado engañoso; una suma a menos de 0,01 de 1 se acepta como redondeo.
- 4. Sigue la tabla. Cada fila muestra x × P(x) y (x − μ)² × P(x); sus totales son el valor esperado y la varianza.
Valor esperado, varianza y desviación estándar
Valor esperado
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Varianza
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Desviación estándar
SD(X) = √Var(X)
El valor esperado pondera cada resultado por su probabilidad. Para que tenga sentido, cada probabilidad debe estar entre 0 y 1, y todas juntas deben sumar exactamente 1: cada resultado posible aparece una sola vez. La varianza mide cuánto se alejan los resultados del valor esperado, así que es una medida de riesgo: dos apuestas pueden tener el mismo E(X) y dispersiones muy distintas.
Con frecuencias, cada recuento se divide entre el total para dar una probabilidad empírica. Si 20 familias tienen 0, 1, 2 o 3 hijos, con recuentos 4, 9, 5 y 2, las probabilidades son 0,2; 0,45; 0,25 y 0,1, y E(X) = 1,25 hijos, con una desviación estándar de 0,8874: un recordatorio de que el valor esperado no tiene por qué ser un valor que pueda darse en realidad.
Tres ejemplos resueltos
| Ejemplo | Resultados | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| Juego de dados | Ganar $3 con probabilidad 1/6; perder $1 con probabilidad 5/6 | −$0,33 | $1,49 |
| Seguro, visto desde la aseguradora | Conservar una prima de $200 con probabilidad 0,998; pagar $49.800 netos con probabilidad 0,002 | +$100 | $2.233,83 |
| Billete de lotería | Ganar $499 netos con probabilidad 0,001; perder la apuesta de $1 con probabilidad 0,999 | −$0,50 | $15,80 |
El juego de dados. Pagas $1 por tirar un dado y ganas $4 si sale un seis, una ganancia neta de $3. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, así que pierdes unos 33 centavos por partida de media. Juega 600 veces y deberías esperar perder unos $200.
La póliza de seguro. Una aseguradora cobra $200 al año por una póliza que paga $50.000 con probabilidad 0,2 %. Su beneficio esperado es 200 × 0,998 + (−49.800) × 0,002 = $100 por póliza; para el cliente, por tanto, el valor esperado es −$100. Comprar puede seguir siendo racional: el cliente cambia una pérdida pequeña y segura por protección frente a una grande, y la desviación estándar de $2.233,83 es el riesgo que se traspasa.
El billete de lotería. Un billete «pick three» de $1 gana $500 si salen tus tres cifras: una probabilidad de 1 entre 1.000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: de media, se pierde la mitad de cada dólar apostado.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se calcula el valor esperado?
- Multiplica cada resultado posible por su probabilidad y suma los productos: E(X) = Σ x × P(x). Para un dado equilibrado de seis caras, E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. La tabla de cálculo de arriba muestra cada producto para tu propia distribución.
- ¿Puede ser negativo el valor esperado?
- Sí. Un valor esperado negativo significa que, de media y tras muchas repeticiones, pierdes: es lo típico de los juegos de casino y de las loterías, donde el operador tiene una ventaja incorporada. Su signo depende de cómo definas los resultados: los +$100 de la aseguradora son −$100 para el cliente.
- ¿Cuál es la diferencia entre el valor esperado y la media?
- El valor esperado es la media de una distribución de probabilidad: el promedio a largo plazo que obtendrías en infinitas pruebas. La media muestral es el promedio de los datos que de verdad observaste. Por la ley de los grandes números, la media muestral de muchas pruebas independientes se acerca cada vez más al valor esperado.
- ¿Las probabilidades tienen que sumar 1?
- Sí. Una distribución de probabilidad válida enumera cada resultado posible una sola vez, así que las probabilidades deben sumar 1. Si no lo hacen, falta un resultado, hay uno contado dos veces o los números son en realidad recuentos; en ese caso, cambia a frecuencias y la calculadora los convertirá.
- ¿Cómo se calcula la varianza de una distribución de probabilidad?
- Eleva al cuadrado la distancia de cada resultado al valor esperado, multiplícala por su probabilidad y suma: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Un atajo da el mismo resultado: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, en las mismas unidades que los resultados.
- ¿Por qué la gente compra billetes de lotería si el valor esperado es negativo?
- El valor esperado describe el promedio a largo plazo, y las personas no deciden solo con promedios. Una lotería ofrece una pequeña probabilidad de una suma que cambia la vida por una apuesta insignificante, y un seguro elimina una pérdida ruinosa a cambio de un coste previsible. La teoría de la decisión lo recoge con la utilidad: valorar los resultados por sus consecuencias y no por su valor nominal.