Calculadora de distribución binomial
Introduce el número de ensayos n, la probabilidad de éxito p y un número de éxitos k para obtener todas las probabilidades binomiales —exactamente k, como máximo, menos de, al menos, más de, o un intervalo—, con la media, la varianza, una tabla completa de probabilidades y un gráfico de barras. Gratis, sin registro.
Añade P(k ≤ X ≤ este valor) a los resultados.
Resultados
| Probabilidad | Significado | Valor |
|---|---|---|
| P(X = 12) | exactamente 12 | 0,1201 |
| P(X ≤ 12) | como máximo 12 | 0,8684 |
| P(X < 12) | menos de 12 | 0,7483 |
| P(X ≥ 12) | al menos 12 | 0,2517 |
| P(X > 12) | más de 12 | 0,1316 |
10
Media (np)
5
Varianza (np(1 − p))
2,2361
Desviación típica
np = 10 y n(1 − p) = 10 son ambas de al menos 10, así que la aproximación normal N(10, 2,2361²) es razonable. Con corrección por continuidad da P(X ≤ 12) ≈ 0,8682, frente al exacto 0,8684.
Distribución de probabilidades
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 0 | 9,54 × 10−7 | 9,54 × 10−7 | 1,0000 |
| 1 | 1,91 × 10−5 | 2,00 × 10−5 | 1,0000 |
| 2 | 0,0002 | 0,0002 | 1,0000 |
| 3 | 0,0011 | 0,0013 | 0,9998 |
| 4 | 0,0046 | 0,0059 | 0,9987 |
| 5 | 0,0148 | 0,0207 | 0,9941 |
| 6 | 0,0370 | 0,0577 | 0,9793 |
| 7 | 0,0739 | 0,1316 | 0,9423 |
| 8 | 0,1201 | 0,2517 | 0,8684 |
| 9 | 0,1602 | 0,4119 | 0,7483 |
| 10 | 0,1762 | 0,5881 | 0,5881 |
| 11 | 0,1602 | 0,7483 | 0,4119 |
| 12 | 0,1201 | 0,8684 | 0,2517 |
| 13 | 0,0739 | 0,9423 | 0,1316 |
| 14 | 0,0370 | 0,9793 | 0,0577 |
| 15 | 0,0148 | 0,9941 | 0,0207 |
| 16 | 0,0046 | 0,9987 | 0,0059 |
| 17 | 0,0011 | 0,9998 | 0,0013 |
| 18 | 0,0002 | 1,0000 | 0,0002 |
| 19 | 1,91 × 10−5 | 1,0000 | 2,00 × 10−5 |
| 20 | 9,54 × 10−7 | 1,0000 | 9,54 × 10−7 |
Cómo usar la calculadora de distribución binomial
- 1. Introduce el número de ensayos. n es cuántas veces se repite el experimento: 20 lanzamientos de moneda, 50 pacientes, 10 preguntas.
- 2. Introduce la probabilidad de éxito. p es la probabilidad de que un ensayo salga bien, entre 0 y 1: 0,5 para una moneda justa, 0,25 para adivinar entre cuatro opciones.
- 3. Introduce k y, opcionalmente, un segundo valor. k es el número de éxitos por el que preguntas. Rellena el segundo campo para obtener también la probabilidad de un intervalo.
- 4. Lee las probabilidades. Obtienes P(X = k) y las cuatro versiones acumuladas, la media, la varianza y la desviación típica, una nota sobre la aproximación normal y, para n de hasta 200, la tabla completa y un gráfico de barras.
Qué modela la distribución binomial
La distribución binomial cuenta los éxitos en un número fijo de ensayos independientes que tienen todos la misma probabilidad de éxito: caras en 20 lanzamientos, respuestas acertadas en un test de opción múltiple o pacientes que responden a un tratamiento. Deben cumplirse cuatro condiciones: un n fijo, dos resultados posibles en cada ensayo, una p constante y ensayos que no se influyen entre sí.
La probabilidad de exactamente k éxitos es P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k, donde C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) cuenta las formas de elegir qué ensayos salen bien. La media es np y la varianza np(1 − p). La calculadora evalúa las probabilidades acumuladas de forma exacta mediante la función beta incompleta regularizada, así que incluso P(X ≥ 95) en 100 lanzamientos justos —unos 6,26 × 10−23— sale bien en lugar de cero.
| Enunciado | Notación | ¿Incluye k? |
|---|---|---|
| exactamente k | P(X = k) | Solo k |
| como máximo k, no más de k | P(X ≤ k) | Sí |
| menos de k, inferior a k | P(X < k) = P(X ≤ k − 1) | No |
| al menos k, k o más | P(X ≥ k) | Sí |
| más de k, mayor que k | P(X > k) = P(X ≥ k + 1) | No |
| entre a y b, ambos incluidos | P(a ≤ X ≤ b) | Ambos extremos |
Como la binomial es discreta, «al menos 12» y «más de 12» son preguntas distintas con respuestas distintas. Convertir el enunciado en una de estas seis formas suele ser lo más difícil de un problema binomial.
Ejemplo desarrollado: lanzamientos de moneda y adivinanzas
Lanza una moneda justa 20 veces (n = 20, p = 0,5). La probabilidad de exactamente 12 caras es C(20, 12) × 0,520 = 125.970 / 1.048.576 = 0,1201. La probabilidad de 12 o más es P(X ≥ 12) = 0,2517, y la de como máximo 12 es 0,8684. Entre 8 y 12 caras, ambos incluidos, P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. La media es 10, la varianza 5 y la desviación típica 2,2361.
Ahora, un test de opción múltiple de 20 preguntas con cuatro opciones por pregunta, respondido adivinando al azar (n = 20, p = 0,25). La puntuación esperada es 5, y la probabilidad de aprobar con 10 o más aciertos es P(X ≥ 10) = 0,0139: aproximadamente 1 de cada 72.
Cuándo funciona la aproximación normal
Para n grande, la binomial se parece a una normal, con media np y desviación típica √(np(1 − p)). La regla habitual es aproximar solo cuando np ≥ 10 y n(1 − p) ≥ 10 —algunos libros aceptan 5— y aplicar una corrección por continuidad de 0,5. En el ejemplo de la moneda ambos valores son exactamente 10, y la aproximación da P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682, frente al exacto 0,8684. Con los valores exactos a un clic, la aproximación es ahora sobre todo un recurso didáctico.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo calculo una probabilidad binomial?
- Usa P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k: el número de formas de colocar k éxitos entre n ensayos, multiplicado por la probabilidad de una de esas secuencias. Las probabilidades acumuladas suman estos términos. Introduce n, p y k arriba y la calculadora los evalúa todos a la vez.
- ¿Cuál es la diferencia entre P(X < k) y P(X ≤ k)?
- P(X ≤ k) incluye k y P(X < k) no, así que P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Para 20 lanzamientos justos, P(X ≤ 12) = 0,8684 mientras que P(X < 12) = 0,7483; la diferencia es P(X = 12) = 0,1201.
- ¿Cuáles son las condiciones de una distribución binomial?
- Un número fijo de ensayos, dos resultados posibles en cada uno, la misma probabilidad de éxito siempre y ensayos independientes. Extraer sin reemplazo de una población pequeña rompe la condición de p constante, así que allí conviene usar la distribución hipergeométrica.
- ¿Cuáles son la media y la desviación típica de una distribución binomial?
- La media es np, la varianza np(1 − p) y la desviación típica √(np(1 − p)). Para n = 20 y p = 0,25, la media es 5, la varianza 3,75 y la desviación típica 1,9365.
- ¿Funciona la calculadora con n grande?
- Sí. n puede llegar a millones, porque las probabilidades acumuladas se obtienen con la función beta incompleta en lugar de sumar miles de términos, así que la precisión no se degrada al crecer n. La tabla y el gráfico de barras se dibujan para n de hasta 200, donde siguen siendo legibles.
- ¿Cuándo conviene usar en su lugar una distribución de Poisson o normal?
- Usa la de Poisson para contar eventos en un intervalo cuando no hay un número fijo de ensayos; también aproxima la binomial cuando n es grande y p pequeña. Usa la aproximación normal solo como comprobación, y únicamente cuando np y n(1 − p) son ambas de al menos 10.