Kalkulator rozkładu dwumianowego

Wyniki

np = 10 i n(1 − p) = 10 są oba co najmniej 10, więc przybliżenie normalne N(10, 2,2361²) jest rozsądne. Z poprawką ciągłości daje P(X ≤ 12) ≈ 0,8682 wobec dokładnego 0,8684.

Jak korzystać z kalkulatora rozkładu dwumianowego

1. 1. Wpisz liczbę prób. n to ile razy wykonujesz doświadczenie: 20 rzutów monetą, 50 pacjentów, 10 pytań.
2. 2. Wpisz prawdopodobieństwo sukcesu. p to szansa, że pojedyncza próba się powiedzie, między 0 a 1 — 0,5 dla uczciwej monety, 0,25 dla zgadywania wśród czterech odpowiedzi.
3. 3. Wpisz k i ewentualnie drugą wartość. k to liczba sukcesów, o którą pytasz. Wypełnij drugie pole, aby otrzymać także prawdopodobieństwo przedziału.
4. 4. Odczytaj prawdopodobieństwa. Dostajesz P(X = k) i wszystkie cztery wersje skumulowane, średnią, wariancję i odchylenie standardowe, uwagę o przybliżeniu normalnym, a dla n do 200 pełną tabelę i wykres słupkowy.

Co modeluje rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy zlicza sukcesy w ustalonej liczbie niezależnych prób, z których każda kończy się sukcesem z tym samym prawdopodobieństwem: orły w 20 rzutach monetą, trafne odpowiedzi w teście wielokrotnego wyboru albo pacjenci, którzy reagują na leczenie. Muszą być spełnione cztery warunki — stała liczba prób n, dwa wyniki w każdej próbie, stałe p oraz próby, które na siebie nie wpływają.

Prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów to P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, gdzie C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) zlicza sposoby wyboru prób, które się udają. Średnia to np, a wariancja np(1 − p). Kalkulator liczy prawdopodobieństwa skumulowane dokładnie, przez regularyzowaną niepełną funkcję beta, więc nawet P(X ≥ 95) w 100 uczciwych rzutach — około 6,26 × 10⁻²³ — wychodzi poprawnie, a nie jako zero.

Ponieważ rozkład dwumianowy jest dyskretny, „co najmniej 12” i „więcej niż 12” to różne pytania o różne odpowiedzi. Przełożenie treści zadania na jedną z tych sześciu postaci bywa najtrudniejszą częścią zadania z rozkładu dwumianowego.

Przykład krok po kroku: rzuty monetą i zgadywanie

Rzuć uczciwą monetą 20 razy (n = 20, p = 0,5). Szansa na dokładnie 12 orłów to C(20, 12) × 0,5²⁰ = 125 970 / 1 048 576 = 0,1201. Szansa na 12 lub więcej to P(X ≥ 12) = 0,2517, a na co najwyżej 12 to 0,8684. Między 8 a 12 orłami włącznie P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. Średnia wynosi 10, wariancja 5, a odchylenie standardowe 2,2361.

Teraz 20-pytaniowy test wielokrotnego wyboru z czterema odpowiedziami na pytanie, rozwiązywany przez czyste zgadywanie (n = 20, p = 0,25). Oczekiwany wynik to 5, a szansa na zdanie z 10 lub więcej poprawnymi odpowiedziami to P(X ≥ 10) = 0,0139 — około 1 na 72.

Kiedy działa przybliżenie normalne

Dla dużych n rozkład dwumianowy wygląda jak normalny, ze średnią np i odchyleniem standardowym √(np(1 − p)). Zwykła reguła mówi, by przybliżać tylko wtedy, gdy np ≥ 10 i n(1 − p) ≥ 10 — niektóre podręczniki dopuszczają 5 — i stosować poprawkę ciągłości 0,5. W przykładzie z monetą oba wyniki wynoszą dokładnie 10, a przybliżenie daje P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682 wobec dokładnego 0,8684. Skoro dokładne wartości są o kliknięcie, przybliżenie jest dziś głównie pomocą dydaktyczną.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć prawdopodobieństwo dwumianowe?

Użyj P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}: liczba sposobów rozmieszczenia k sukcesów wśród n prób, pomnożona przez prawdopodobieństwo jednego takiego ciągu. Prawdopodobieństwa skumulowane dodają te składniki. Wpisz powyżej n, p i k, a kalkulator oceni je wszystkie naraz.

Czym różni się P(X < k) od P(X ≤ k)?

P(X ≤ k) zawiera k, a P(X < k) nie, więc P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Dla 20 uczciwych rzutów P(X ≤ 12) = 0,8684, podczas gdy P(X < 12) = 0,7483 — różnica to P(X = 12) = 0,1201.

Jakie są warunki rozkładu dwumianowego?

Stała liczba prób, dwa możliwe wyniki w każdej z nich, to samo prawdopodobieństwo sukcesu za każdym razem i niezależność prób. Losowanie bez zwracania z małej populacji łamie warunek stałego p, więc tam użyj rozkładu hipergeometrycznego.

Jaka jest średnia i odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego?

Średnia to np, wariancja np(1 − p), a odchylenie standardowe √(np(1 − p)). Dla n = 20 i p = 0,25 średnia wynosi 5, wariancja 3,75, a odchylenie standardowe 1,9365.

Czy kalkulator działa dla dużego n?

Tak. n może sięgać milionów, bo prawdopodobieństwa skumulowane są liczone z niepełnej funkcji beta, a nie przez dodawanie tysięcy składników, więc precyzja nie spada wraz ze wzrostem n. Tabela i wykres słupkowy są rysowane dla n do 200, gdzie pozostają czytelne.

Kiedy zamiast tego użyć rozkładu Poissona lub normalnego?

Rozkład Poissona stosuj do liczby zdarzeń w przedziale, gdy nie ma ustalonej liczby prób; przybliża on także dwumianowy, gdy n jest duże, a p małe. Przybliżenie normalne traktuj jako sprawdzenie krzyżowe i tylko wtedy, gdy np i n(1 − p) są oba co najmniej 10.