Binomiale-verdelingscalculator

Resultaten

np = 10 en n(1 − p) = 10 zijn allebei minstens 10, dus de normaalbenadering N(10, 2,2361²) is redelijk. Met een continuïteitscorrectie geeft die P(X ≤ 12) ≈ 0,8682, tegenover de exacte 0,8684.

Zo gebruik je de binomiale-verdelingscalculator

1. 1. Voer het aantal pogingen in. n is hoe vaak het experiment wordt uitgevoerd: 20 keer een munt opgooien, 50 patiënten, 10 vragen.
2. 2. Voer de kans op succes in. p is de kans dat één poging slaagt, tussen 0 en 1 — 0,5 voor een eerlijke munt, 0,25 voor gokken tussen vier opties.
3. 3. Voer k in, en eventueel een tweede waarde. k is het aantal successen waarnaar je vraagt. Vul het tweede vakje in om ook de kans op een bereik te krijgen.
4. 4. Lees de kansen af. Je krijgt P(X = k) en alle vier cumulatieve varianten, het gemiddelde, de variantie en de standaardafwijking, een opmerking over de normaalbenadering, en — voor n tot 200 — de volledige tabel en een staafdiagram.

Wat de binomiale verdeling modelleert

De binomiale verdeling telt het aantal successen in een vast aantal onafhankelijke pogingen die elk met dezelfde kans slagen: kop bij 20 keer opgooien, goede gokken bij een meerkeuzetoets, of patiënten die op een behandeling reageren. Vier voorwaarden moeten gelden — een vast n, twee uitkomsten per poging, een constante p, en pogingen die elkaar niet beïnvloeden.

De kans op precies k successen is P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, waarbij C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) telt op hoeveel manieren je kunt kiezen welke pogingen slagen. Het gemiddelde is np en de variantie np(1 − p). De calculator berekent de cumulatieve kansen exact via de geregulariseerde onvolledige bètafunctie, zodat zelfs P(X ≥ 95) bij 100 eerlijke worpen — ongeveer 6,26 × 10⁻²³ — correct uitkomt in plaats van als nul.

Omdat de binomiale verdeling discreet is, zijn “minstens 12” en “meer dan 12” verschillende vragen met verschillende antwoorden. De vraag omzetten naar een van deze zes vormen is meestal het moeilijkste deel van een binomiaal vraagstuk.

Uitgewerkt voorbeeld: munten en gokken

Gooi 20 keer met een eerlijke munt (n = 20, p = 0,5). De kans op precies 12 keer kop is C(20, 12) × 0,5²⁰ = 125.970 / 1.048.576 = 0,1201. De kans op 12 of meer is P(X ≥ 12) = 0,2517, en die op hoogstens 12 is 0,8684. Tussen 8 en 12 keer kop, inclusief, is P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. Het gemiddelde is 10, de variantie 5 en de standaardafwijking 2,2361.

Neem nu een meerkeuzetoets van 20 vragen met vier antwoorden per vraag, beantwoord door puur te gokken (n = 20, p = 0,25). De verwachte score is 5, en de kans om te slagen met 10 of meer goed is P(X ≥ 10) = 0,0139 — ongeveer 1 op 72.

Wanneer de normaalbenadering werkt

Bij een grote n lijkt de binomiale verdeling op een normale verdeling, met gemiddelde np en standaardafwijking √(np(1 − p)). De gangbare regel is alleen te benaderen als np ≥ 10 en n(1 − p) ≥ 10 — sommige handboeken accepteren 5 — en een continuïteitscorrectie van 0,5 toe te passen. Voor het munt-voorbeeld zijn beide aantallen precies 10, en de benadering geeft P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682, tegenover de exacte 0,8684. Met exacte waarden op een klik afstand is de benadering nu vooral een didactisch hulpmiddel.

Veelgestelde vragen

Hoe bereken ik een binomiale kans?

Gebruik P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}: het aantal manieren om k successen over n pogingen te verdelen, maal de kans op één zo'n reeks. Cumulatieve kansen tellen deze termen op. Voer hierboven n, p en k in, en de calculator berekent ze allemaal tegelijk.

Wat is het verschil tussen P(X < k) en P(X ≤ k)?

P(X ≤ k) bevat k en P(X < k) niet, dus P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Bij 20 eerlijke munt-worpen is P(X ≤ 12) = 0,8684 terwijl P(X < 12) = 0,7483 — het verschil is P(X = 12) = 0,1201.

Wat zijn de voorwaarden voor een binomiale verdeling?

Een vast aantal pogingen, twee mogelijke uitkomsten bij elke poging, steeds dezelfde kans op succes, en onafhankelijke pogingen. Trekken zonder teruglegging uit een kleine populatie breekt de voorwaarde van een constante p, dus gebruik daar de hypergeometrische verdeling.

Wat zijn het gemiddelde en de standaardafwijking van een binomiale verdeling?

Het gemiddelde is np, de variantie np(1 − p) en de standaardafwijking √(np(1 − p)). Voor n = 20 en p = 0,25 is het gemiddelde 5, de variantie 3,75 en de standaardafwijking 1,9365.

Werkt de calculator ook voor een grote n?

Ja. n kan oplopen tot miljoenen, omdat de cumulatieve kansen uit de onvolledige bètafunctie komen in plaats van uit het optellen van duizenden termen, dus de precisie neemt niet af als n groeit. De tabel en het staafdiagram worden getekend voor n tot 200, waar ze leesbaar blijven.

Wanneer gebruik ik in plaats daarvan een Poisson- of normale verdeling?

Gebruik de Poisson voor aantallen gebeurtenissen in een interval wanneer er geen vast aantal pogingen is; die benadert ook de binomiale verdeling als n groot en p klein is. Gebruik de normaalbenadering alleen als controle, en alleen als np en n(1 − p) allebei minstens 10 zijn.