Hoe lees je een chi-kwadraattabel?

Zoek je vrijheidsgraden in de linkerkolom en je significantieniveau α in de bovenste rij; het vakje waar ze elkaar kruisen is de kritieke waarde. Verwerp de nulhypothese als je χ²-toetsingsgrootheid minstens zo groot is. Voor df = 10 en α = 0,05 is de kritieke waarde 18,307.

Wat is de kritieke chi-kwadraatwaarde bij 0,05 met 1 vrijheidsgraad?

3,841, wat 1,96² is — het kwadraat van de tweezijdige z-kritieke waarde, omdat een chi-kwadraatvariabele met 1 df het kwadraat van een standaardnormale variabele is. Met 2 df is de kritieke waarde 5,991, en met 3 df is die 7,815.

Hoe vind ik de vrijheidsgraden voor een chi-kwadraattoets?

Voor een toets op onafhankelijkheid in een r × c-tabel is df = (r − 1)(c − 1). Voor goodness of fit met k categorieën is df = k − 1, minus één voor elke parameter die uit de data is geschat. Voor een toets of betrouwbaarheidsinterval over één variantie is df = n − 1.

Waarom heeft de tabel kolommen als 0,995 en 0,975?

Ze geven waarden in de linker staart van de verdeling, die tweezijdige toetsen en betrouwbaarheidsintervallen voor een variantie nodig hebben. De kop is nog steeds het oppervlak rechts, dus de kolom 0,975 bevat de waarde met 2,5% van het oppervlak eronder.

Is een chi-kwadraattoets eenzijdig of tweezijdig?

Toetsen op onafhankelijkheid en goodness of fit zijn rechtszijdig, omdat alleen grote waarden van χ² bewijs tegen de nulhypothese zijn. Toetsen over één variantie kunnen linkszijdig, rechtszijdig of tweezijdig zijn; dan komen de kolommen links en de opzoeking “Beide staarten” van pas.

Wat als mijn vrijheidsgraden niet in de tabel staan?

Gebruik de opzoeking, die elke df accepteert: bij α = 0,05 geeft die bijvoorbeeld 49,8018 voor df = 35. Voor zeer grote df is χ² ongeveer normaal verdeeld met gemiddelde df en variantie 2 × df.

Chi-kwadraatverdelingstabel

Kritieke waarden van de rechter staart van de chi-kwadraatverdeling voor 1 tot 100 vrijheidsgraden bij tien significantieniveaus — plus een opzoeking die de exacte waarde geeft voor elke df en α, in de rechter staart, de linker staart of beide. Print een schone kopie voor de les of het tentamen. Gratis, zonder registratie.

Vrijheidsgraden (df)

Significantieniveau (α)

Staart

Kritieke waarde

χ² = 18,3070

Bij 10 df ligt een oppervlak van 0,05 boven 18,3070: verwerp H₀ als χ² ≥ 18,3070.

Elk getal is de χ²-waarde met een oppervlak van α rechts ervan. Voor de waarde met een oppervlak α links ervan lees je de kolom met als kop 1 − α.

Kritieke waarden van de chi-kwadraatverdeling
df	0,995	0,99	0,975	0,95	0,90	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
	Oppervlak rechts (α)
1	0,0000393	0,000157	0,000982	0,00393	0,0158	2,706	3,841	5,024	6,635	7,879
2	0,0100	0,0201	0,0506	0,103	0,211	4,605	5,991	7,378	9,210	10,597
3	0,0717	0,115	0,216	0,352	0,584	6,251	7,815	9,348	11,345	12,838
4	0,207	0,297	0,484	0,711	1,064	7,779	9,488	11,143	13,277	14,860
5	0,412	0,554	0,831	1,145	1,610	9,236	11,070	12,833	15,086	16,750
6	0,676	0,872	1,237	1,635	2,204	10,645	12,592	14,449	16,812	18,548
7	0,989	1,239	1,690	2,167	2,833	12,017	14,067	16,013	18,475	20,278
8	1,344	1,646	2,180	2,733	3,490	13,362	15,507	17,535	20,090	21,955
9	1,735	2,088	2,700	3,325	4,168	14,684	16,919	19,023	21,666	23,589
10	2,156	2,558	3,247	3,940	4,865	15,987	18,307	20,483	23,209	25,188
11	2,603	3,053	3,816	4,575	5,578	17,275	19,675	21,920	24,725	26,757
12	3,074	3,571	4,404	5,226	6,304	18,549	21,026	23,337	26,217	28,300
13	3,565	4,107	5,009	5,892	7,042	19,812	22,362	24,736	27,688	29,819
14	4,075	4,660	5,629	6,571	7,790	21,064	23,685	26,119	29,141	31,319
15	4,601	5,229	6,262	7,261	8,547	22,307	24,996	27,488	30,578	32,801
16	5,142	5,812	6,908	7,962	9,312	23,542	26,296	28,845	32,000	34,267
17	5,697	6,408	7,564	8,672	10,085	24,769	27,587	30,191	33,409	35,718
18	6,265	7,015	8,231	9,390	10,865	25,989	28,869	31,526	34,805	37,156
19	6,844	7,633	8,907	10,117	11,651	27,204	30,144	32,852	36,191	38,582
20	7,434	8,260	9,591	10,851	12,443	28,412	31,410	34,170	37,566	39,997
21	8,034	8,897	10,283	11,591	13,240	29,615	32,671	35,479	38,932	41,401
22	8,643	9,542	10,982	12,338	14,041	30,813	33,924	36,781	40,289	42,796
23	9,260	10,196	11,689	13,091	14,848	32,007	35,172	38,076	41,638	44,181
24	9,886	10,856	12,401	13,848	15,659	33,196	36,415	39,364	42,980	45,559
25	10,520	11,524	13,120	14,611	16,473	34,382	37,652	40,646	44,314	46,928
26	11,160	12,198	13,844	15,379	17,292	35,563	38,885	41,923	45,642	48,290
27	11,808	12,879	14,573	16,151	18,114	36,741	40,113	43,195	46,963	49,645
28	12,461	13,565	15,308	16,928	18,939	37,916	41,337	44,461	48,278	50,993
29	13,121	14,256	16,047	17,708	19,768	39,087	42,557	45,722	49,588	52,336
30	13,787	14,953	16,791	18,493	20,599	40,256	43,773	46,979	50,892	53,672
40	20,707	22,164	24,433	26,509	29,051	51,805	55,758	59,342	63,691	66,766
50	27,991	29,707	32,357	34,764	37,689	63,167	67,505	71,420	76,154	79,490
60	35,534	37,485	40,482	43,188	46,459	74,397	79,082	83,298	88,379	91,952
70	43,275	45,442	48,758	51,739	55,329	85,527	90,531	95,023	100,425	104,215
80	51,172	53,540	57,153	60,391	64,278	96,578	101,879	106,629	112,329	116,321
90	59,196	61,754	65,647	69,126	73,291	107,565	113,145	118,136	124,116	128,299
100	67,328	70,065	74,222	77,929	82,358	118,498	124,342	129,561	135,807	140,169

Zo gebruik je de chi-kwadraatverdelingstabel

1. Bepaal de vrijheidsgraden. (rijen − 1) × (kolommen − 1) voor een toets op onafhankelijkheid; categorieën − 1 voor een goodness-of-fit-toets, minus nog één voor elke parameter die uit de data is geschat; n − 1 voor een variantie.
2. Kies de kolom voor α. De tabel geeft het oppervlak rechts van elke waarde, dus voor de gebruikelijke rechtszijdige toets bij α = 0,05 gebruik je de kolom 0,05.
3. Vergelijk je toetsingsgrootheid. Als je χ² minstens de kritieke waarde is, verwerp je de nulhypothese.
4. Gebruik de opzoeking voor al het andere. Elke df — 35, 120 of een breuk — elke α, en waarden van de linker staart of tweezijdige waarden voor toetsen en betrouwbaarheidsintervallen over een variantie.

Zo lees je de chi-kwadraattabel

Elk getal is de waarde van χ² die het oppervlak α van de kolom rechts ervan heeft. Zoek je vrijheidsgraden in de linkerkolom en je significantieniveau bovenaan: bij df = 10 en α = 0,05 is de kritieke waarde 18,307, dus een χ²-waarde van 18,307 of meer is significant. De kolommen dicht bij 1 (0,995 tot 0,90) bevatten de kleine waarden in de linker staart; de kolommen dicht bij 0 bevatten de kritieke waarden van de rechter staart die vrijwel elke chi-kwadraattoets gebruikt.

Uitgewerkte opzoekingen
Situatie	df	Kolom	Kritieke waarde
2 × 2-toets op onafhankelijkheid, α = 0,05	1	0,05	3,841
3 × 3-toets op onafhankelijkheid, α = 0,05	4	0,05	9,488
Goodness of fit, 4 categorieën, α = 0,05	3	0,05	7,815
Goodness of fit, 11 categorieën, α = 0,05	10	0,05	18,307
Tweezijdige toets op een variantie, n = 20, α = 0,05	19	0,975 en 0,025	8,907 en 32,852

Chi-kwadraattoetsen op goodness of fit en onafhankelijkheid zijn rechtszijdig: de toetsingsgrootheid groeit bij elke afwijking van de nulhypothese, dus alleen grote waarden tellen tegen de nulhypothese. Een resultaat van χ²(3) = 7,20 blijft onder 7,815, dus het is niet significant bij 0,05 — de P-waardecalculator geeft een exacte p van 0,066.

Linker staarten en betrouwbaarheidsintervallen voor een variantie

De kolommen links zijn belangrijk als de vraag over een variantie gaat. Bij een steekproef van n = 20 met s = 4,2 gebruikt een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor σ² beide staarten van χ² met 19 df: σ² ligt tussen 19 × 4,2² / 32,852 = 10,20 en 19 × 4,2² / 8,907 = 37,63. Kies “Beide staarten” in de opzoeking om het paar kritieke waarden in één keer te krijgen.

Veelgemaakte fouten

De kop lezen als oppervlak van de linker staart. Elke kolom heeft als kop het oppervlak rechts; de kolom 0,95 bevat de waarde met 5% van de verdeling eronder.
Df verkeerd berekenen voor een contingentietabel. Het is (rijen − 1) × (kolommen − 1), niet het aantal cellen min één.
α halveren voor een goodness-of-fit-toets. De toets is per constructie eenzijdig, dus α = 0,05 betekent de kolom 0,05.

Veelgestelde vragen

Hoe lees je een chi-kwadraattabel?: Zoek je vrijheidsgraden in de linkerkolom en je significantieniveau α in de bovenste rij; het vakje waar ze elkaar kruisen is de kritieke waarde. Verwerp de nulhypothese als je χ²-toetsingsgrootheid minstens zo groot is. Voor df = 10 en α = 0,05 is de kritieke waarde 18,307.
Wat is de kritieke chi-kwadraatwaarde bij 0,05 met 1 vrijheidsgraad?: 3,841, wat 1,96² is — het kwadraat van de tweezijdige z-kritieke waarde, omdat een chi-kwadraatvariabele met 1 df het kwadraat van een standaardnormale variabele is. Met 2 df is de kritieke waarde 5,991, en met 3 df is die 7,815.
Hoe vind ik de vrijheidsgraden voor een chi-kwadraattoets?: Voor een toets op onafhankelijkheid in een r × c-tabel is df = (r − 1)(c − 1). Voor goodness of fit met k categorieën is df = k − 1, minus één voor elke parameter die uit de data is geschat. Voor een toets of betrouwbaarheidsinterval over één variantie is df = n − 1.
Waarom heeft de tabel kolommen als 0,995 en 0,975?: Ze geven waarden in de linker staart van de verdeling, die tweezijdige toetsen en betrouwbaarheidsintervallen voor een variantie nodig hebben. De kop is nog steeds het oppervlak rechts, dus de kolom 0,975 bevat de waarde met 2,5% van het oppervlak eronder.
Is een chi-kwadraattoets eenzijdig of tweezijdig?: Toetsen op onafhankelijkheid en goodness of fit zijn rechtszijdig, omdat alleen grote waarden van χ² bewijs tegen de nulhypothese zijn. Toetsen over één variantie kunnen linkszijdig, rechtszijdig of tweezijdig zijn; dan komen de kolommen links en de opzoeking “Beide staarten” van pas.
Wat als mijn vrijheidsgraden niet in de tabel staan?: Gebruik de opzoeking, die elke df accepteert: bij α = 0,05 geeft die bijvoorbeeld 49,8018 voor df = 35. Voor zeer grote df is χ² ongeveer normaal verdeeld met gemiddelde df en variantie 2 × df.

Gerelateerde tools

Chikwadraattoets-calculator P-waardecalculator T-tabel (Student-t-verdeling)F-verdelingstabel Z-tabel (standaardnormale verdeling)