Каково критическое значение хи-квадрат при 0,05 и 1 степени свободы?

3,841, то есть 1,96², квадрат двустороннего z-критического значения, потому что величина хи-квадрат с 1 df есть квадрат стандартной нормальной. При 2 df критическое значение равно 5,991, а при 3 df — 7,815.

Как найти степени свободы для критерия хи-квадрат?

Для критерия независимости в таблице r × c df = (r − 1)(c − 1). Для критерия согласия с k категориями df = k − 1, минус один за каждый параметр, оцененный по данным. Для проверки или доверительного интервала одной дисперсии df = n − 1.

Почему в таблице есть столбцы вроде 0,995 и 0,975?

Они дают значения в левом хвосте распределения, которые нужны двусторонним проверкам и доверительным интервалам для дисперсии. Заголовок по-прежнему означает площадь справа, поэтому в столбце 0,975 стоит значение, под которым лежат 2,5% площади.

Критерий хи-квадрат одно- или двусторонний?

Критерии независимости и согласия правосторонние, потому что против нулевой гипотезы свидетельствуют только большие значения χ². Проверки одной дисперсии могут быть левосторонними, правосторонними или двусторонними; тогда и нужны столбцы слева и поиск «Оба хвоста».

Что делать, если моих степеней свободы нет в таблице?

Используйте поиск, который принимает любые df: при α = 0,05 он даёт, например, 49,8018 для df = 35. При очень больших df χ² приблизительно нормально, со средним df и дисперсией 2 × df.

Таблица распределения хи-квадрат

Критические значения правого хвоста распределения хи-квадрат для 1–100 степеней свободы при десяти уровнях значимости — и поиск, который даёт точное значение для любых df и α в правом хвосте, левом хвосте или в обоих. Распечатайте чистую копию для урока или экзамена. Бесплатно, без регистрации.

Степени свободы (df)

Уровень значимости (α)

Хвост

Критическое значение

χ² = 18,3070

При 10 степенях свободы площадь 0,05 лежит выше 18,3070: отвергайте H₀, когда χ² ≥ 18,3070.

Каждая запись — значение χ² с площадью α справа от него. Для значения с площадью α слева читайте столбец с заголовком 1 − α.

Критические значения распределения хи-квадрат
df	0,995	0,99	0,975	0,95	0,90	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
	Площадь справа (α)
1	0,0000393	0,000157	0,000982	0,00393	0,0158	2,706	3,841	5,024	6,635	7,879
2	0,0100	0,0201	0,0506	0,103	0,211	4,605	5,991	7,378	9,210	10,597
3	0,0717	0,115	0,216	0,352	0,584	6,251	7,815	9,348	11,345	12,838
4	0,207	0,297	0,484	0,711	1,064	7,779	9,488	11,143	13,277	14,860
5	0,412	0,554	0,831	1,145	1,610	9,236	11,070	12,833	15,086	16,750
6	0,676	0,872	1,237	1,635	2,204	10,645	12,592	14,449	16,812	18,548
7	0,989	1,239	1,690	2,167	2,833	12,017	14,067	16,013	18,475	20,278
8	1,344	1,646	2,180	2,733	3,490	13,362	15,507	17,535	20,090	21,955
9	1,735	2,088	2,700	3,325	4,168	14,684	16,919	19,023	21,666	23,589
10	2,156	2,558	3,247	3,940	4,865	15,987	18,307	20,483	23,209	25,188
11	2,603	3,053	3,816	4,575	5,578	17,275	19,675	21,920	24,725	26,757
12	3,074	3,571	4,404	5,226	6,304	18,549	21,026	23,337	26,217	28,300
13	3,565	4,107	5,009	5,892	7,042	19,812	22,362	24,736	27,688	29,819
14	4,075	4,660	5,629	6,571	7,790	21,064	23,685	26,119	29,141	31,319
15	4,601	5,229	6,262	7,261	8,547	22,307	24,996	27,488	30,578	32,801
16	5,142	5,812	6,908	7,962	9,312	23,542	26,296	28,845	32,000	34,267
17	5,697	6,408	7,564	8,672	10,085	24,769	27,587	30,191	33,409	35,718
18	6,265	7,015	8,231	9,390	10,865	25,989	28,869	31,526	34,805	37,156
19	6,844	7,633	8,907	10,117	11,651	27,204	30,144	32,852	36,191	38,582
20	7,434	8,260	9,591	10,851	12,443	28,412	31,410	34,170	37,566	39,997
21	8,034	8,897	10,283	11,591	13,240	29,615	32,671	35,479	38,932	41,401
22	8,643	9,542	10,982	12,338	14,041	30,813	33,924	36,781	40,289	42,796
23	9,260	10,196	11,689	13,091	14,848	32,007	35,172	38,076	41,638	44,181
24	9,886	10,856	12,401	13,848	15,659	33,196	36,415	39,364	42,980	45,559
25	10,520	11,524	13,120	14,611	16,473	34,382	37,652	40,646	44,314	46,928
26	11,160	12,198	13,844	15,379	17,292	35,563	38,885	41,923	45,642	48,290
27	11,808	12,879	14,573	16,151	18,114	36,741	40,113	43,195	46,963	49,645
28	12,461	13,565	15,308	16,928	18,939	37,916	41,337	44,461	48,278	50,993
29	13,121	14,256	16,047	17,708	19,768	39,087	42,557	45,722	49,588	52,336
30	13,787	14,953	16,791	18,493	20,599	40,256	43,773	46,979	50,892	53,672
40	20,707	22,164	24,433	26,509	29,051	51,805	55,758	59,342	63,691	66,766
50	27,991	29,707	32,357	34,764	37,689	63,167	67,505	71,420	76,154	79,490
60	35,534	37,485	40,482	43,188	46,459	74,397	79,082	83,298	88,379	91,952
70	43,275	45,442	48,758	51,739	55,329	85,527	90,531	95,023	100,425	104,215
80	51,172	53,540	57,153	60,391	64,278	96,578	101,879	106,629	112,329	116,321
90	59,196	61,754	65,647	69,126	73,291	107,565	113,145	118,136	124,116	128,299
100	67,328	70,065	74,222	77,929	82,358	118,498	124,342	129,561	135,807	140,169

Как пользоваться таблицей распределения хи-квадрат

1. Найдите степени свободы. (строки − 1) × (столбцы − 1) для критерия независимости; категории − 1 для критерия согласия, минус ещё один за каждый параметр, оцененный по данным; n − 1 для дисперсии.
2. Выберите столбец для α. Таблица даёт площадь справа от каждого значения, поэтому для обычной правосторонней проверки при α = 0,05 используйте столбец 0,05.
3. Сравните статистику. Если ваше χ² не меньше критического значения, отвергните нулевую гипотезу.
4. Используйте поиск для всего остального. Любые df — 35, 120 или дробное число — любое α, а также левосторонние или двусторонние значения для проверок и доверительных интервалов о дисперсии.

Как читать таблицу хи-квадрат

Каждая запись — это значение χ², справа от которого в столбце лежит площадь α. Найдите свои степени свободы в левом столбце, а уровень значимости — вверху: при df = 10 и α = 0,05 критическое значение равно 18,307, поэтому статистика χ² от 18,307 и выше значима. Столбцы у единицы (от 0,995 до 0,90) содержат малые значения в левом хвосте; столбцы у нуля — критические значения правого хвоста, которые используются почти во всех критериях хи-квадрат.

Примеры поиска
Ситуация	df	Столбец	Критическое значение
Тест независимости 2 × 2, α = 0,05	1	0,05	3,841
Тест независимости 3 × 3, α = 0,05	4	0,05	9,488
Критерий согласия, 4 категории, α = 0,05	3	0,05	7,815
Критерий согласия, 11 категорий, α = 0,05	10	0,05	18,307
Двусторонняя проверка дисперсии, n = 20, α = 0,05	19	0,975 и 0,025	8,907 и 32,852

Критерии хи-квадрат для согласия и независимости правосторонние: статистика растёт с любым отклонением от нулевой гипотезы, поэтому против неё работают только большие значения. Результат критерия согласия χ²(3) = 7,20 не достигает 7,815, поэтому при 0,05 он не значим — P-Value Calculator даёт точное p = 0,066.

Левые хвосты и доверительные интервалы для дисперсии

Столбцы слева важны, когда вопрос касается дисперсии. Для выборки n = 20 с s = 4,2 95%-ный доверительный интервал для σ² использует оба хвоста χ² с 19 степенями свободы: σ² лежит между 19 × 4,2² / 32,852 = 10,20 и 19 × 4,2² / 8,907 = 37,63. Выберите «Оба хвоста» в поиске, чтобы сразу получить пару критических значений.

Типичные ошибки

Чтение заголовка как площади левого хвоста. Каждый столбец назван площадью справа; в столбце 0,95 стоит значение, под которым лежат 5% распределения.
Неверные степени свободы для таблицы сопряжённости. Их число равно (строки − 1) × (столбцы − 1), а не числу ячеек минус один.
Деление α пополам для критерия согласия. Критерий по построению односторонний, поэтому α = 0,05 означает столбец 0,05.

Часто задаваемые вопросы

Как читать таблицу хи-квадрат?: Найдите степени свободы в левом столбце, а уровень значимости α — в верхней строке; ячейка на их пересечении и есть критическое значение. Отвергайте нулевую гипотезу, если ваша статистика χ² не меньше его. При df = 10 и α = 0,05 критическое значение равно 18,307.
Каково критическое значение хи-квадрат при 0,05 и 1 степени свободы?: 3,841, то есть 1,96², квадрат двустороннего z-критического значения, потому что величина хи-квадрат с 1 df есть квадрат стандартной нормальной. При 2 df критическое значение равно 5,991, а при 3 df — 7,815.
Как найти степени свободы для критерия хи-квадрат?: Для критерия независимости в таблице r × c df = (r − 1)(c − 1). Для критерия согласия с k категориями df = k − 1, минус один за каждый параметр, оцененный по данным. Для проверки или доверительного интервала одной дисперсии df = n − 1.
Почему в таблице есть столбцы вроде 0,995 и 0,975?: Они дают значения в левом хвосте распределения, которые нужны двусторонним проверкам и доверительным интервалам для дисперсии. Заголовок по-прежнему означает площадь справа, поэтому в столбце 0,975 стоит значение, под которым лежат 2,5% площади.
Критерий хи-квадрат одно- или двусторонний?: Критерии независимости и согласия правосторонние, потому что против нулевой гипотезы свидетельствуют только большие значения χ². Проверки одной дисперсии могут быть левосторонними, правосторонними или двусторонними; тогда и нужны столбцы слева и поиск «Оба хвоста».
Что делать, если моих степеней свободы нет в таблице?: Используйте поиск, который принимает любые df: при α = 0,05 он даёт, например, 49,8018 для df = 35. При очень больших df χ² приблизительно нормально, со средним df и дисперсией 2 × df.