卡方分布表

如何使用卡方分布表

1. 1. 确定自由度。 独立性检验的自由度为 (行数 − 1) × (列数 − 1);拟合优度检验为类别数 − 1,再为数据中估计的每个参数减去 1;方差的检验为 n − 1。
2. 2. 选择 α 所在的列。 表中每一列给出的是各数值右侧的面积,因此对于常见的右尾检验(α = .05),应使用 0.05 列。
3. 3. 比较您的统计量。 若您的 χ² 不小于临界值,则拒绝原假设。
4. 4. 其他情况使用查询工具。 任意自由度(35、120 或小数)、任意 α,以及用于方差检验和置信区间的左尾或双尾临界值。

如何阅读卡方表

表中每个数值都是使该列面积 α 位于其右侧的 χ² 值。在左侧找到您的自由度,在顶部找到显著性水平:当 df = 10、α = .05 时,临界值为 18.307,因此 χ² 统计量达到或超过 18.307 即为显著。接近 1 的列(0.995 至 0.90)给出左尾的小数值;接近 0 的列给出几乎所有卡方检验都会使用的右尾临界值。

独立性检验和拟合优度的卡方检验都是右尾检验:统计量会随任何偏离原假设的情况而增大,因此只有较大的数值才构成反对原假设的证据。拟合优度检验的结果 χ²(3) = 7.20 低于 7.815,因此在 .05 水平上不显著——P-Value Calculator 给出的精确 p 为 .066。

方差的左尾与置信区间

当问题涉及方差时,左侧各列就很重要。对于 n = 20、s = 4.2 的样本,σ² 的 95% 置信区间要用到自由度为 19 的 χ² 的两尾:σ² 介于 19 × 4.2² / 32.852 = 10.20 与 19 × 4.2² / 8.907 = 37.63 之间。在查询工具中选择“双尾”,即可一次得到这一对临界值。

常见错误

• 把表头当作左尾面积。 每一列的表头都是右侧面积;0.95 列给出的是下方有 5% 分布的数值。
• 列联表的自由度算错。 应为 (行数 − 1) × (列数 − 1),而不是单元格数减一。
• 对拟合优度检验把 α 减半。 该检验本身就是单侧的,因此 α = .05 即指 0.05 列。

常见问题

如何阅读卡方表?

在左侧找到您的自由度,在顶部一行找到显著性水平 α;两者交汇处的数值即为临界值。若您的 χ² 统计量不小于该值,则拒绝原假设。当 df = 10、α = .05 时,临界值为 18.307。

自由度为 1、α 为 0.05 时的卡方临界值是多少?

3.841,即 1.96² ——它是双尾 z 临界值的平方,因为自由度为 1 的卡方变量就是标准正态变量的平方。自由度为 2 时临界值为 5.991,自由度为 3 时为 7.815。

如何求卡方检验的自由度?

对于 r × c 表的独立性检验,df = (r − 1)(c − 1)。对于 k 个类别的拟合优度检验,df = k − 1,再为数据中估计的每个参数减 1。对于单个方差的检验或置信区间,df = n − 1。

表中为什么有 0.995 和 0.975 这样的列?

它们给出分布左尾的数值,而双侧检验和方差的置信区间需要用到左尾。表头仍然是右侧面积,因此 0.975 列给出的是下方有 2.5% 面积的数值。

卡方检验是单尾还是双尾?

独立性检验和拟合优度检验都是右尾检验,因为只有较大的 χ² 值才构成反对原假设的证据。关于单个方差的检验可以是左尾、右尾或双尾,此时才需要用到左侧各列以及“双尾”查询。

如果表中没有我的自由度怎么办?

使用查询工具,它接受任意自由度:例如在 α = .05 时,自由度为 35 的临界值为 49.8018。对于非常大的自由度,χ² 近似服从均值为 df、方差为 2 × df 的正态分布。