卡方独立性检验说明了什么?

它检验两个分类变量在总体中是否相关,即一个变量的分布是否随另一个变量的水平而变化。显著的结果表明,如果两个变量相互独立,观察到的表格出现的可能性很小。它并不说明关联有多强(为此请使用 Cramér's V),也不说明哪些单元格起作用(请查看调整残差)。

如何计算卡方检验的期望计数?

对列联表而言,将单元格所在行的合计乘以所在列的合计,再除以总计 N。对拟合优度检验而言,将 N 乘以每个类别的期望比例。期望计数不必是整数——37.5 是完全合理的期望计数。

Cramér's V 多大才算好?

并没有通用的阈值,但通常参照经过表格大小调整的 Cohen 标准:对于 2 × 2 表(此时 V 等于 φ),约 .10 为小,.30 为中,.50 为大。对于更大的表格,请将这些数值除以 √(min(r, c) − 1)——例如在 3 × 3 表中,中等基准约变为 .21。

我应该使用 Yates 连续性校正吗?

只有在您的课程、期刊或软件比对要求时才需要。该校正只适用于 2 × 2 表,会使检验趋于保守——p 值会偏大。在期望计数充足时,未校正的 Pearson χ² 是准确的;在计数较小时,Fisher 精确检验才是更好的补救方法。

可以对百分比或均值进行卡方检验吗?

不可以。该检验需要原始频数,即每个类别中的个案数。输入之前,请用各组的样本量把百分比还原为计数;均值或得分表则需要其他检验,例如 t 检验或方差分析。

如何以 APA 格式报告卡方检验?

将卡方写为 χ²,括号中注明自由度和样本量,后接数值与 p:χ²(2, N = 160) = 8.00, p = .018。可以再加上效应量,例如 V = .22。按 APA 格式,希腊字母 χ 不用斜体,但 N、p 和 V 要用斜体;p 不写前导零,小于 .001 的写作 p < .001。

卡方检验计算器

输入列联表的计数,或一组观察频数,即可得到 χ²、自由度和精确的 p 值——并附带期望计数、Cramér's V 或 Cohen's w,以及完整的计算过程。当期望计数过小、卡方近似不可靠时,计算器会发出警告。免费,无需注册。

检验

独立性检验(列联表)拟合优度检验

输入观察计数。行和列的名称可以编辑,它们会为结果添加标签。

	第 1 列的名称	第 2 列的名称	合计
第 1 行的名称	第 1 行、第 1 列的计数	第 1 行、第 2 列的计数	—
第 2 行的名称	第 2 行、第 1 列的计数	第 2 行、第 2 列的计数	—
合计	—	—	—

应用 Yates 连续性校正(仅适用于 2 × 2 表)

显著性水平(α)

每个单元格都请填写整数计数——允许为零。

如何使用卡方检验计算器

1. 选择检验。 当您有两个交叉分类的分类变量时,选择独立性检验;当您只有一个变量,并希望将其与某个假定分布进行比较时,选择拟合优度检验。
2. 输入计数。 独立性检验中,输入每个单元格的计数,并重命名行和列;可以增减行列,使表格从 2 × 2 扩展到 8 × 8。拟合优度检验中,列出观察计数;如果各类别的预期并不相等,再输入期望比例、百分比或计数。
3. 检查期望计数。 结果会显示每一个期望计数。若任何一个低于 5,将出现警告说明问题;对于 2 × 2 表,还会指引您使用 Fisher 精确检验。
4. 阅读并报告。 您将得到 χ²、自由度、p 值、效应量、显示哪些单元格驱动关联的调整标准化残差、计算过程,以及可直接复制的 APA 格式结果。

独立性检验还是拟合优度检验?

问题	检验	自由度	示例
两个分类变量是否相关?	独立性检验	(r − 1)(c − 1)	学习方式(线上、线下、混合)与考试结果(通过、未通过)
一个变量的计数是否符合既定分布?	拟合优度检验	k − 1	100 名学生在四个论文题目中的选择,是否与均等份额相符

统计量是如何构造的

每个单元格都会得到一个期望计数——即原假设完全成立时您会观察到的数值。在独立性检验中,它为 E = (行合计 × 列合计) / N;在拟合优度检验中,对每个类别而言为 E = N × p,p 为该类别的期望比例。统计量将每个观察计数 O 偏离其期望的程度,按期望值加权后相加:χ² = Σ (O − E)² / E。数值越大,表明在 H₀ 之下该表格越不可能出现;p 值则是自由度与检验相同的卡方分布的上尾面积。若想改为查阅临界值,请使用卡方分布表。

Cramér's V = √(χ² / (N(min(r, c) − 1))) 的取值从 0(无关联)到 1(完全关联),可用于比较不同大小的表格。
φ(phi) = √(χ² / N) 是 2 × 2 表的特例,此时它等于 V。
Cohen's w = √(χ² / N) 衡量拟合优度的偏离程度。Cohen 的基准为 .10 小、.30 中、.50 大;对于 V,请将这些基准除以 √(min(r, c) − 1)。

示例:学习方式与通过率

点击试用示例即可载入 160 名学生的结果:线上 45 人通过、15 人未通过;线下 30 人与 30 人;混合 25 人与 15 人。总计 160 人中有 100 人通过,因此在独立性假设下,60 名线上学生中应有 37.5 人通过(60 × 100 / 160)。

独立性检验,逐步演算

期望值:线上 37.5 / 22.5,线下 37.5 / 22.5,混合 25 / 15

χ² = 1.5 + 2.5 + 1.5 + 2.5 + 0 + 0 = 8.00

df = (3 − 1)(2 − 1) = 2,p = .018

V = √(8.00 / (160 × 1)) = .22

按 APA 格式报告:χ²(2, N = 160) = 8.00, p = .018, V = .22。调整残差指明了关联的位置:线上学生的通过次数多于独立性假设的预测(+2.53),线下学生则少于预测(−2.53),而混合学生恰好与预期一致。由于该表有两列,min(r, c) − 1 = 1,Cohen 的基准可以直接适用于 V,因此 .22 介于小(.10)与中(.30)之间。

近似方法何时失效

p 值来自大样本近似。一条常见的规则(Cochran, 1954)要求没有任何期望计数低于 1,且低于 5 的期望计数不超过 20%;本计算器会标记任何低于 5 的期望计数。对于小样本的 2 × 2 表,请使用 Fisher 精确检验。Yates 连续性校正是 2 × 2 表较早的修正方法:它会缩小 χ²,使检验趋于保守,因此在计数充足时,许多统计学家现在不再使用它。R 的 chisq.test 和 SciPy 的 chi2_contingency 默认对 2 × 2 表应用该校正,这也是它们算出的 χ² 有时与 SPSS 的 Pearson 行不同的原因——勾选或取消勾选该选项,即可与您正在核对的结果保持一致。

输入百分比而不是计数。 χ² 取决于 N;百分比会丢弃样本量信息,得出的结果毫无意义。
同一个人计入两个单元格。 每个观测必须且只能落入一个单元格。对同一批人的重复测量需要使用 McNemar 检验或其他配对方法。
把很小的 p 值理解为很强的关联。 当 N 很大时,微不足道的关联也会变得显著——请同时报告 V 或 w。

常见问题

卡方独立性检验说明了什么?: 它检验两个分类变量在总体中是否相关,即一个变量的分布是否随另一个变量的水平而变化。显著的结果表明,如果两个变量相互独立,观察到的表格出现的可能性很小。它并不说明关联有多强(为此请使用 Cramér's V),也不说明哪些单元格起作用(请查看调整残差)。
如何计算卡方检验的期望计数?: 对列联表而言,将单元格所在行的合计乘以所在列的合计,再除以总计 N。对拟合优度检验而言,将 N 乘以每个类别的期望比例。期望计数不必是整数——37.5 是完全合理的期望计数。
Cramér's V 多大才算好?: 并没有通用的阈值,但通常参照经过表格大小调整的 Cohen 标准:对于 2 × 2 表(此时 V 等于 φ),约 .10 为小,.30 为中,.50 为大。对于更大的表格,请将这些数值除以 √(min(r, c) − 1)——例如在 3 × 3 表中,中等基准约变为 .21。
我应该使用 Yates 连续性校正吗?: 只有在您的课程、期刊或软件比对要求时才需要。该校正只适用于 2 × 2 表,会使检验趋于保守——p 值会偏大。在期望计数充足时,未校正的 Pearson χ² 是准确的;在计数较小时,Fisher 精确检验才是更好的补救方法。
可以对百分比或均值进行卡方检验吗?: 不可以。该检验需要原始频数,即每个类别中的个案数。输入之前,请用各组的样本量把百分比还原为计数;均值或得分表则需要其他检验,例如 t 检验或方差分析。
如何以 APA 格式报告卡方检验?: 将卡方写为 χ²,括号中注明自由度和样本量,后接数值与 p:χ²(2, N = 160) = 8.00, p = .018。可以再加上效应量,例如 V = .22。按 APA 格式,希腊字母 χ 不用斜体,但 N、p 和 V 要用斜体;p 不写前导零,小于 .001 的写作 p < .001。