F 分布表

如何使用 F 分布表

1. 1. 选择 α。 在顶部选择显著性水平。每个 α 各有一张表,因为 F 同时依赖于两个自由度。
2. 2. 找到两个自由度。 分子自由度 (df₁) 位于顶部横向,分母自由度 (df₂) 位于左侧纵向。在单因素方差分析中,k 个组时 df₁ = k − 1,且 df₂ = N − k。
3. 3. 读取临界值。 若您的 F 统计量不小于该值,则结果在所选水平上显著。
4. 4. 对其他情形使用查询功能。 任意的 df₁、df₂ 和 α,包括表中未列出的自由度,以及用于双侧方差检验的下侧临界值。

如何读 F 表

F 是两个方差估计之比,因此它带有两个自由度:分子的 df₁ 与分母的 df₂。每个数值都是其右侧面积为 α 的值。在比较 3 组、每组 10 个观测值的单因素方差分析中,df₁ = 3 − 1 = 2,df₂ = 30 − 3 = 27;在 α = .05 时,表中给出 3.354,因此 F 为 3.35 时恰好未达到显著(p = .0502)。

F 分布不对称,因此下侧临界值并不简单地等于上侧临界值的相反数。它由交换自由度得到:下侧值 F(α; df₁, df₂) 等于 1 / F(α; df₂, df₁) 的上侧值——对于上面的方差检验,1 / 4.026 = 0.2484。查询框会同时给出两者。

∞ 行与 ∞ 列的含义

当某个自由度无限增大时,其方差估计变得精确,F 就变成一个经缩放的卡方变量:df₂ = ∞ 时,F = χ²(df₁) / df₁;df₁ = ∞ 时,F = df₂ / χ²(df₂)。表格直接精确计算这些极限,而不是代入一个很大的数;两者都为无穷大时,F = 1。

常见错误

• 颠倒自由度。 F(2, 24) 与 F(24, 2) 相差很大——在 α = .05 时分别为 3.403 与 19.454。分子自由度总是横向放在顶部。
• 读错了表。 每个显著性水平各有一张表,因此请在读数前检查表上方的标题。
• 为方差分析把 α 减半。 方差分析的 F 检验按构造是右尾的:α = .05 时应使用 .05 的表,而不是 .025。

常见问题

如何读 F 表?

选择对应 α 的表,沿顶部找到分子自由度 (df₁),沿左侧找到分母自由度 (df₂)。交叉处的数值即临界值:若您的 F 不小于它,则拒绝原假设。例如 df₁ = 5、df₂ = 10、α = .05 时,临界值为 3.326。

方差分析中 F 检验的自由度是多少?

对于 k 组、总共 N 个观测值的单因素方差分析,df₁ = k − 1(组间),df₂ = N − k(组内)。对于 p 个预测变量、n 个样本的回归整体 F 检验,df₁ = p,df₂ = n − p − 1。

F 检验是单尾还是双尾?

方差分析与回归中的 F 检验都是右尾的,因为只有较大的比值才构成反对原假设的证据。检验两个方差是否相等通常是双侧的,需要同时使用上侧与下侧临界值。

如果我的自由度不在表中怎么办?

使用查询框获得精确值,例如 F(.05; 2, 35) = 3.2674。若只有印刷的表,保守的做法是取表中下一个较小的自由度,这会给出稍大一些的临界值。

F 分布与 t 分布有什么关系?

分子自由度为 1 的 F 是 t 的平方:F(1, df) = t(df)²。这就是为什么 F(.05; 1, 10) = 4.965 = 2.228²,也是为什么两组的 ANOVA 与双尾独立样本 t 检验给出完全相同的 p 值。

为什么 F 临界值在自由度较大时趋近于 1?

当原假设成立时,分子和分母都估计同一个方差。自由度较大时两个估计都变得精确,因此它们的比值趋近于 1;随着两个自由度都增大,临界值向 1 收缩,而在两者都为无穷大时恰好等于 1。