几何平均数计算器
求正数的几何平均数,或把一系列百分比变化——+10%、−5%、+20%——换算为真实的每期平均增长率。计算过程逐步展示对数法,调和平均数与算术平均数并列,方便您看出数据适合哪一种平均数。
0 个数值已识别
请输入至少两个正数。
如何使用几何平均数计算器
- 1. 选择您要求平均的对象。 正数值,例如比率、浓度或价格;或者各期之间的百分比变化。
- 2. 输入数字。 对于变化,输入 10 表示 +10%,输入 -5 表示 −5%;带 % 号也可以。
- 3. 查看结果。 数值会给出几何平均数,并附调和平均数与算术平均数以供比较;变化则给出每期平均增长率、具有误导性的简单平均,以及总变化。
- 4. 检查计算过程。 对数法、乘积形式,以及平均增长率能够重现总变化的检验,均有显示。
几何平均数公式
算术平均数是把数值相加再除以 n。几何平均数则是把数值相乘再开 n 次方:
定义
GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
对数法
GM = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
对于 2 和 8,GM = √(2 × 8) = √16 = 4,而算术平均数为 5。对于示例数据——12、18、30、45 和 200——乘积为 58,320,000,其五次方根为 35.74,而 61 的算术平均数则被那个单一的大值拉高了。计算器使用对数法,因为它与直接相乘得到的是同一个数,却更安全:几个普通数值的乘积会溢出,但它们的对数之和永远不会。
平均增长率:为什么几何平均数才是正确的
增长是复合的,因此变化是相乘的。一个量增长 10%、下降 5%、再增长 20%,则乘以 1.10 × 0.95 × 1.20 = 1.254——总增幅为 25.4%。能得到同样总量的恒定增长率,是增长因子的几何平均数减一:1.2541/3 − 1 = 每期 7.84%。
三次变化的简单平均为 8.33%,会高估它:1.0833 的立方为 1.2714,因此它会把 100 变成 127.14,而不是您实际得到的 125.40。在变化剧烈的情况下,差距更为显著。先增长 50% 再下降 50% 的平均为 0%,然而 100 变成 150 再变成 75——几何平均数报告的是真实情况,即每期 −13.4%。这与复合年增长率(CAGR)的计算方法相同。
应该使用哪种平均数?
| 平均数 | 适用于 | 示例 |
|---|---|---|
| 算术平均数 | 可以相加的量 | 考试分数、身高、每日气温 |
| 几何平均数 | 可以相乘的量,或跨越数量级的数据 | 增长率、投资回报、比率、指数 |
| 调和平均数 | 以某种固定数量为基准测得的速率 | 等距离行程的平均速度、市盈率、F1 分数 |
调和平均数为 n ÷ Σ(1/x)。以相同距离去程 60 km/h、返程 40 km/h,您的平均速度为 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/h,而不是 50——因为您在较慢的速度上花的时间更长。对于任何正数数据,三种平均数的顺序为:调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数。
常见问题
- 几何平均数有什么用?
- 它用于对通过乘法结合的量取平均:多个时期的增长率和投资回报、比率和倍数变化,以及跨越多个数量级的偏态正数数据,例如细菌计数或抗体滴度。在每种情况下,它给出的都是典型的乘性数值,而算术平均数会高估它。
- 如何计算几何平均数?
- 把 n 个值相乘,再对乘积开 n 次方。等价地,对这些值的自然对数取平均,再取指数,这正是计算器和软件的做法。对于 4、9 和 6,乘积为 216,216 的立方根为 6。
- 几何平均数为什么不能使用零或负数?
- 只要有一个零,无论其他值是什么,整个乘积都为零;而零或负数的对数无定义。对于负数,方根甚至可能不是实数。这就是增长率要换算为 −5% 对应 0.95 这样的因子的原因:除非变化达到 −100%,这些因子都保持为正。
- 如何计算平均增长率?
- 把每个百分比变化换算为增长因子(1 + 变化 ÷ 100),将各因子相乘,开 n 次方,再减 1。对于 +10%、−5% 和 +20%,即 1.254^(1/3) − 1 = 每期 7.84%。如果您只知道起始值和终值,同样的思路给出 CAGR = (终值 ÷ 起始值)^(1/n) − 1。
- 几何平均数是否总小于算术平均数?
- 它永远不会更大。对于正数,几何平均数小于或等于算术平均数,仅当所有值都相同时二者才相等。数值越分散,差距越大。
- 何时应使用调和平均数?
- 当保持固定的量位于速率的分母中时,用它对速率取平均——例如等距离行程的平均速度、每次花费相同金额时所付的平均价格,或平均市盈率。机器学习中的 F1 分数就是精确率与召回率的调和平均数,它能防止一个较高的数值掩盖另一个较低的数值。