什么是好的效应量?

没有普遍适用的答案。Cohen 的基准把 d = 0.2 视为小、0.5 为中、0.8 为大,但对于一项影响数百万人的廉价干预,d = 0.2 也可能很重要;而在实验室操纵中,d = 0.8 也可能令人失望。请对照您所在领域的既往研究与实际利害来判断。

Cohen's d 与 Hedges' g 有什么区别?

两者都用合并标准差去除均值差,但在小样本中 d 略有向上偏倚。Hedges' g 将 d 乘以校正系数 J = 1 − 3 ÷ (4(n₁ + n₂) − 9),在每组不足约 20 人时有影响,超过这一数量则可忽略。许多元分析默认报告 g。

如何由 t 检验计算 Cohen's d?

对于独立样本 t 检验,d = t × √(1 ÷ n₁ + 1 ÷ n₂);若 t = 2.45、两组分别为 30 与 28 人,则 d = 0.6438。对于配对 t 检验,d_z = t ÷ √n,因此 t = 2.45、共 25 对时,d_z = 0.49。在上方选择“一个 t 统计量”,计算器会应用正确的公式。

应该报告 eta 平方还是偏 eta 平方?

在单因素方差分析中两者相同。在析因设计中,偏 η² 从分母中去除了其他效应,因此在设计相同的研究之间更具可比性,但比 η² 大。请说明您报告的是哪一种;若想了解它占总方差的份额,请优先使用 η²。

如何把比值比换算为 Cohen's d?

使用 Chinn(2000)的 logit 方法:d = ln(OR) × √3 ÷ π,约为 ln(OR) ÷ 1.81。比值比为 2.5 时,d ≈ 0.51。该换算假定二分结果源自服从逻辑斯蒂分布的潜在连续变量。

Cohen's d 可以为负数吗?

可以。符号只表示哪一组的均值更大:当第一组的均值较小时,d 为负。基准针对的是绝对值,因此 d = −0.6 是方向相反的中到大效应。

效应量计算器

将各组的均值与标准差、t 统计量或方差分析结果转换为标准化效应量——Cohen's d、Hedges' g、Glass's Δ、配对数据的 d_z 与 d_av、η²、偏 η² 与 Cohen's f——或在 r、d 与比值比之间互相换算。每个输出都会注明所用公式并代入您的数字,并与 Cohen 的基准相比较。

第 1 组(实验组)

均值

标准差

样本量(n)

第 2 组(对照组)

均值

标准差

样本量(n)

Glass's Δ 以下列哪一组的标准差相除

第 1 组第 2 组

在上方填入各字段即可看到效应量。标准差必须为正数,样本量至少为 2。

如何使用效应量计算器

1. 说明您有什么数据。 两个独立组的汇总统计量、两个配对条件的汇总统计量、一个 t 统计量、一个方差分析结果,或需要换算的效应量。
2. 填写各字段。 均值、标准差与样本量;或 t 与各组的 n;或 F 及其两个自由度;或方差分析表中的平方和。
3. 阅读效应量。 每张卡片都有标签,公式面板会说明每个数字是如何算出的,并代入您的数值。
4. 谨慎解读。 基准行会把主要结果与 Cohen 的小、中、大效应相比较,可作为粗略的参考,但不是定论。

应该报告哪一种效应量?

情形	效应量	公式
两个独立组	Cohen's d	(M₁ − M₂) ÷ s_p,其中 s_p 为合并标准差
同上,但样本较小	Hedges' g	J × d,J = 1 − 3 ÷ (4(n₁ + n₂) − 9)
处理改变了离散程度	Glass's Δ	(M₁ − M₂) ÷ 对照组的标准差
配对或重复测量	d_z 与 d_av	M_diff ÷ s_diff;M_diff ÷ ((s₁ + s₂) ÷ 2)
方差分析	η²、偏 η²、f	SS_effect ÷ SS_total;F·df₁ ÷ (F·df₁ + df₂);√(η² ÷ (1 − η²))

Hedges' g 校正了小样本中 d 的向上偏倚;当样本为 58 人时,校正系数为 0.9865,因此两者几乎没有差别,但若每组只有 10 人,校正系数约为 0.96。Glass's Δ 只用对照组的标准差进行标准化,当干预同时改变了均值与离散程度时,这是更稳妥的选择。

示例

两个班级。 采用新方法的班级平均分为 82.4(标准差 9.1,n = 30),而采用常规方法的班级平均分为 76.8(标准差 10.3,n = 28)。合并标准差为 9.6971,因此 d = 5.6 ÷ 9.6971 = 0.5775。校正系数 J = 1 − 3 ÷ (4 × 58 − 9) = 0.9865,得 g = 0.5697;若改以对照班的标准差相除,则 Δ = 5.6 ÷ 10.3 = 0.5437。

前后测。 25 名学生在工作坊前的得分为 24.6(标准差 5.2),工作坊后为 21.3(标准差 4.8),个体差值的标准差为 3.9。于是 d_z = 3.3 ÷ 3.9 = 0.8462,而 d_av = 3.3 ÷ 5 = 0.66。两者都是合理的,但回答的是不同的问题:d_z 反映个体改变的一致程度,它决定了配对 t 检验的功效;而 d_av 与组间 d 处于同一尺度,因此应当用它与其他研究相比较(Lakens, 2013)。

效应量之间的换算

元分析通常需要把每项研究换算到同一尺度上。相关系数可以换算为 d:d = 2r ÷ √(1 − r²),因此 r = 0.3 得 d = 0.629;反向公式为 r = d ÷ √(d² + 4)。两者都假定两组样本量相等。若两组不等,则使用 r = d ÷ √(d² + a),其中 a = (n₁ + n₂)² ÷ (n₁n₂)。比值比则按 Chinn(2000)的 logit 方法换算:d = ln(OR) × √3 ÷ π。比值比为 2.5 对应 d = 0.5052,而 d = 0.629 对应的比值比为 3.13。

Cohen 的基准——及其局限

度量	小	中	大
d、g、Δ	0.2	0.5	0.8
r	0.1	0.3	0.5
η²	0.01	0.06	0.14
f	0.10	0.25	0.40

Cohen (1988), Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, 2nd ed.

Cohen 把这些数值当作无更好依据时的替代参考,并警告不要机械地套用。何为“大”取决于领域与结果:例如 Kraft (2020) 认为,在教育干预研究中,0.05 至 0.20 个标准差的效应已属中等。偏 η² 在多因素设计中相对于 η² 会被放大,因此按这些基准标签来看,它会显得效应更大。请把您的效应与类似研究以及实践中真正重要的程度相比较。

常见问题

什么是好的效应量?: 没有普遍适用的答案。Cohen 的基准把 d = 0.2 视为小、0.5 为中、0.8 为大,但对于一项影响数百万人的廉价干预,d = 0.2 也可能很重要;而在实验室操纵中,d = 0.8 也可能令人失望。请对照您所在领域的既往研究与实际利害来判断。
Cohen's d 与 Hedges' g 有什么区别?: 两者都用合并标准差去除均值差,但在小样本中 d 略有向上偏倚。Hedges' g 将 d 乘以校正系数 J = 1 − 3 ÷ (4(n₁ + n₂) − 9),在每组不足约 20 人时有影响,超过这一数量则可忽略。许多元分析默认报告 g。
如何由 t 检验计算 Cohen's d?: 对于独立样本 t 检验,d = t × √(1 ÷ n₁ + 1 ÷ n₂);若 t = 2.45、两组分别为 30 与 28 人,则 d = 0.6438。对于配对 t 检验,d_z = t ÷ √n,因此 t = 2.45、共 25 对时,d_z = 0.49。在上方选择“一个 t 统计量”,计算器会应用正确的公式。
应该报告 eta 平方还是偏 eta 平方?: 在单因素方差分析中两者相同。在析因设计中,偏 η² 从分母中去除了其他效应,因此在设计相同的研究之间更具可比性,但比 η² 大。请说明您报告的是哪一种;若想了解它占总方差的份额,请优先使用 η²。
如何把比值比换算为 Cohen's d?: 使用 Chinn(2000)的 logit 方法:d = ln(OR) × √3 ÷ π,约为 ln(OR) ÷ 1.81。比值比为 2.5 时,d ≈ 0.51。该换算假定二分结果源自服从逻辑斯蒂分布的潜在连续变量。
Cohen's d 可以为负数吗?: 可以。符号只表示哪一组的均值更大:当第一组的均值较小时,d 为负。基准针对的是绝对值,因此 d = −0.6 是方向相反的中到大效应。