期望值计算器
列出各种可能的结果及其概率(可用小数、百分数或分数,例如 1/6),或列出各结果出现的次数,即可得到期望值 E(X)、方差和标准差,并附计算表。计算器会检查概率之和是否为 1,并提供掷骰子游戏、保险单和彩票三个示例。免费,无需注册。
已读取 0 个结果。 概率可以是小数(0.25)、百分数(25%)或分数(1/4)。数字前面的文字会被忽略,因此您可以为每行加上标签。
试用示例
请至少输入两个结果,每行一个。
如何使用期望值计算器
- 1. 选择概率或频数。 理论分布用概率;若您有计数,则用频数,计算器会将它们除以总数。
- 2. 每行输入一个结果。 先写数值,再写它的概率或频数,例如
3, 1/6。数字前面的文字会被忽略,因此一行可以写作赢:掷出六点,3, 1/6。 - 3. 读取 E(X)、方差和标准差。 如果概率之和不等于 1,计算器会提示,而不会给出误导性的结果;与 1 相差在 0.01 以内的和视为舍入误差而被接受。
- 4. 查看计算表。 每行显示 x × P(x) 和 (x − μ)² × P(x);它们的合计分别就是期望值和方差。
期望值、方差与标准差
期望值
E(X) = μ = Σ x × P(x)
方差
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
标准差
SD(X) = √Var(X)
期望值按每个结果出现的可能性对其加权。要使它有意义,每个概率都必须在 0 与 1 之间,而且它们之和必须恰好为 1——即每一种可能的结果都只列出一次。方差衡量结果通常偏离期望值的程度,因此它是风险的度量:两个赌注可以有相同的 E(X),却有截然不同的离散程度。
若使用频数,每个计数除以总数即得到经验概率。如果 20 个家庭的子女数为 0、1、2 或 3,对应的计数分别为 4、9、5 和 2,则概率为 0.2、0.45、0.25 和 0.1,E(X) = 1.25 个孩子,标准差为 0.8874。这提醒我们:期望值未必是一个实际可能出现的数值。
三个示例
| 示例 | 结果 | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| 掷骰子游戏 | 赢 $3 的概率为 1/6;输 $1 的概率为 5/6 | −$0.33 | $1.49 |
| 保险(保险公司视角) | 收取 $200 保费的概率为 0.998;净赔付 $49,800 的概率为 0.002 | +$100 | $2,233.83 |
| 彩票 | 净赢 $499 的概率为 0.001;输掉 $1 投注额的概率为 0.999 | −$0.50 | $15.80 |
掷骰子游戏。 您付 $1 掷一次骰子,掷出六点赢 $4,净赚 $3。E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3,因此平均每局输约 33 美分。玩 600 局,您平均应当输掉约 $200。
保险单。 保险公司每年收取 $200 保费,承保一份以 0.2% 概率赔付 $50,000 的保单。它的期望利润为 200 × 0.998 + (−49,800) × 0.002 = 每单 $100——因此对投保人而言,期望值为 −$100。购买保险仍然可能是理性的:投保人以一笔小而确定的损失,换取对一笔大损失的保障;$2,233.83 的标准差就是被转移出去的风险。
彩票。 一张 $1 的三位数彩票,若三位数字全部对中则赢得 $500——即 1000 分之一的机会。E(X) = 499 × 0.001 + (−1) × 0.999 = −0.50:平均而言,每投入一美元就损失一半。
常见问题
- 如何计算期望值?
- 把每个可能结果乘以它的概率,再把乘积相加:E(X) = Σ x × P(x)。例如,对于一颗均匀的六面骰子,E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3.5。上方的计算表会显示您自己分布中的每一项乘积。
- 期望值可以是负数吗?
- 可以。负的期望值表示,如果重复很多次,您平均会输,这在赌场游戏和彩票中很常见,因为经营者已设定了优势。它的正负取决于您如何定义结果:保险公司的 +$100 对投保人来说就是 −$100。
- 期望值与平均数有什么区别?
- 期望值是概率分布的平均数,即无限次试验所得到的长期平均值。样本平均数则是您实际观察到的数据的平均值。根据大数定律,许多次独立试验的样本平均数会越来越接近期望值。
- 概率之和必须为 1 吗?
- 是的。一个有效的概率分布会列出每一种可能的结果且只列一次,因此概率之和必须为 1。如果不是 1,说明漏掉了某个结果、重复计算了某个结果,或者这些数其实是次数——在这种情况下请切换为频数,计算器会自动换算。
- 如何求概率分布的方差?
- 把每个结果与期望值的距离平方,乘以它的概率,然后相加:Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x)。也有一个捷径得到相同的结果:Var(X) = Σ x² × P(x) − μ²。标准差是方差的平方根,与结果具有相同的单位。
- 期望值为负,人们为什么还买彩票?
- 期望值描述的是长期平均,而人们做决定时并不只看平均。彩票以极小的成本提供一个小概率的巨额奖金,保险则以可预测的成本消除毁灭性的损失。决策理论用效用来描述这一点:按结果给自己带来的实际影响来评价,而不是只看票面价值。