Calculateur d'espérance
Listez les issues possibles avec leurs probabilités — décimales, pourcentages ou fractions comme 1/6 — ou avec le nombre de fois où chacune s'est produite, et obtenez l'espérance E(X), la variance et l'écart type, avec un tableau de calcul. Le calculateur vérifie que vos probabilités ont pour somme 1 et charge des exemples résolus : un jeu de dés, une police d'assurance et un billet de loterie.
0 issue lue. Les probabilités peuvent être des décimales (0,25), des pourcentages (25 %) ou des fractions (1/4). Pour écrire une décimale avec une virgule, séparez les nombres par un point-virgule : 3; 0,25. Les mots placés avant les nombres sont ignorés, vous pouvez donc nommer chaque ligne.
Essayer un exemple
Saisissez au moins deux issues, une par ligne.
Comment utiliser le calculateur d'espérance
- 1. Choisissez probabilités ou fréquences. Utilisez les probabilités pour une loi théorique, et les fréquences lorsque vous disposez d'effectifs : le calculateur les divise par leur total.
- 2. Saisissez une issue par ligne. D'abord la valeur, puis sa probabilité ou sa fréquence :
3; 1/6. Le point-virgule sépare les nombres, ce qui permet d'écrire les décimales avec une virgule ; les mots placés avant les nombres sont ignorés, si bien qu'une ligne peut s'écrireGain : obtenir un six; 3; 1/6. - 3. Lisez E(X), la variance et l'écart type. Si les probabilités n'ont pas pour somme 1, le calculateur le signale au lieu de produire une réponse trompeuse ; une somme à moins de 0,01 de 1 est acceptée comme un arrondi.
- 4. Suivez le tableau. Chaque ligne affiche x × P(x) et (x − μ)² × P(x) ; les totaux des colonnes sont l'espérance et la variance.
Espérance, variance et écart type
Espérance
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Variance
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Écart type
SD(X) = √Var(X)
L'espérance pondère chaque issue par sa probabilité. Pour qu'elle ait un sens, chaque probabilité doit être comprise entre 0 et 1, et toutes doivent avoir pour somme exactement 1 : chaque issue possible est listée une seule fois. La variance mesure l'écart typique des issues par rapport à l'espérance ; c'est donc une mesure du risque : deux paris peuvent avoir la même E(X) et des dispersions très différentes.
Avec des fréquences, chaque effectif est divisé par le total pour obtenir une probabilité empirique. Si 20 familles comptent 0, 1, 2 ou 3 enfants, avec des effectifs de 4, 9, 5 et 2, les probabilités sont 0,2 ; 0,45 ; 0,25 et 0,1, et E(X) = 1,25 enfant, avec un écart type de 0,8874 — un rappel que l'espérance n'a pas besoin d'être une valeur qui puisse effectivement se produire.
Trois exemples résolus
| Exemple | Issues | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| Jeu de dés | Gagner 3 $ avec une probabilité de 1/6 ; perdre 1 $ avec une probabilité de 5/6 | −0,33 $ | 1,49 $ |
| Assurance, vue de l'assureur | Conserver une prime de 200 $ avec une probabilité de 0,998 ; verser 49 800 $ net avec une probabilité de 0,002 | +100 $ | 2 233,83 $ |
| Billet de loterie | Gagner 499 $ net avec une probabilité de 0,001 ; perdre la mise de 1 $ avec une probabilité de 0,999 | −0,50 $ | 15,80 $ |
Le jeu de dés. Vous payez 1 $ pour lancer un dé et gagnez 4 $ sur un six, soit un gain net de 3 $. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, donc vous perdez en moyenne environ 33 cents par partie. Jouez 600 fois et vous devriez être en déficit d'environ 200 $.
La police d'assurance. Un assureur facture 200 $ par an une police qui verse 50 000 $ avec une probabilité de 0,2 %. Son bénéfice espéré est 200 × 0,998 + (−49 800) × 0,002 = 100 $ par police — donc, pour le client, l'espérance vaut −100 $. Souscrire peut rester rationnel : le client échange une petite perte certaine contre une protection contre une perte importante, et l'écart type de 2 233,83 $ est le risque transféré.
Le billet de loterie. Un billet à trois chiffres à 1 $ rapporte 500 $ si vos trois chiffres sortent — une chance sur 1 000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50 : en moyenne, la moitié de chaque dollar misé est perdue.
Questions fréquentes
- Comment calcule-t-on l'espérance ?
- On multiplie chaque issue possible par sa probabilité, puis on additionne les produits : E(X) = Σ x × P(x). Pour un dé équilibré à six faces, E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. Le tableau de calcul ci-dessus montre chaque produit pour votre propre loi.
- L'espérance peut-elle être négative ?
- Oui. Une espérance négative signifie qu'en moyenne, sur de nombreuses répétitions, vous perdez — c'est le cas typique des jeux de casino et des loteries, où l'organisateur intègre un avantage. Son signe dépend de la façon dont vous définissez les issues : les +100 $ de l'assureur sont les −100 $ du client.
- Quelle est la différence entre l'espérance et la moyenne ?
- L'espérance est la moyenne d'une loi de probabilité — la moyenne à long terme que l'on obtiendrait après un nombre infini d'essais. La moyenne d'échantillon est la moyenne des données effectivement observées. D'après la loi des grands nombres, la moyenne d'échantillon de nombreux essais indépendants se rapproche de plus en plus de l'espérance.
- Les probabilités doivent-elles avoir pour somme 1 ?
- Oui. Une loi de probabilité valide liste chaque issue possible exactement une fois, si bien que les probabilités doivent avoir pour somme 1. Si ce n'est pas le cas, une issue manque, une autre est comptée deux fois, ou les nombres sont en réalité des effectifs — auquel cas passez aux fréquences, et le calculateur les convertira.
- Comment trouver la variance d'une loi de probabilité ?
- Élevez au carré l'écart de chaque issue à l'espérance, multipliez par sa probabilité, puis additionnez : Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Un raccourci donne le même résultat : Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². L'écart type est la racine carrée de la variance, exprimée dans la même unité que les issues.
- Pourquoi achète-t-on des billets de loterie si l'espérance est négative ?
- L'espérance décrit la moyenne à long terme, et les gens ne décident pas sur la seule moyenne. Une loterie offre une petite chance d'une somme qui change une vie pour une mise dérisoire, et l'assurance supprime une perte ruineuse pour un coût prévisible. La théorie de la décision traduit cela par l'utilité : on valorise les issues selon leurs conséquences plutôt que selon leur valeur nominale.