Kalkulator wartości oczekiwanej
Wypisz możliwe wyniki wraz z prawdopodobieństwami — ułamkami dziesiętnymi, procentami lub ułamkami zwykłymi, np. 1/6 — albo z liczbą wystąpień każdego z nich, a otrzymasz wartość oczekiwaną E(X), wariancję i odchylenie standardowe z tabelą roboczą. Kalkulator sprawdza, czy prawdopodobieństwa sumują się do 1, i wczytuje przykłady: grę w kości, polisę ubezpieczeniową i los na loterii.
Odczytano 0 wyników. Prawdopodobieństwa mogą być ułamkami dziesiętnymi (0,25), procentami (25%) lub ułamkami zwykłymi (1/4). Słowa przed liczbami są pomijane, więc możesz opisać każdy wiersz. Przy przecinku dziesiętnym oddziel liczby średnikiem, np. 200; 0,998.
Wypróbuj przykład
Wpisz co najmniej dwa wyniki, po jednym w wierszu.
Jak korzystać z kalkulatora wartości oczekiwanej
- 1. Wybierz prawdopodobieństwa lub liczebności. Prawdopodobieństw używaj dla rozkładu teoretycznego, a liczebności, gdy masz liczby wystąpień — kalkulator podzieli je przez ich sumę.
- 2. Wpisz jeden wynik w wierszu. Najpierw wartość, potem jej prawdopodobieństwo lub liczebność:
3, 1/6. Słowa przed liczbami są ignorowane, więc wiersz może brzmiećWygrana: wyrzucisz szóstkę, 3, 1/6. - 3. Odczytaj E(X), wariancję i SD. Jeśli prawdopodobieństwa nie sumują się do 1, kalkulator o tym informuje zamiast podawać mylący wynik; suma różniąca się od 1 o nie więcej niż 0,01 jest akceptowana jako zaokrąglenie.
- 4. Przejdź przez tabelę. Każdy wiersz pokazuje x × P(x) oraz (x − μ)² × P(x); sumy kolumn to wartość oczekiwana i wariancja.
Wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe
Wartość oczekiwana
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Wariancja
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Odchylenie standardowe
SD(X) = √Var(X)
Wartość oczekiwana waży każdy wynik tym, jak bardzo jest prawdopodobny. Aby miała sens, każde prawdopodobieństwo musi leżeć między 0 a 1, a razem muszą sumować się dokładnie do 1 — każdy możliwy wynik wymieniony raz. Wariancja mierzy, jak daleko wyniki zwykle odchodzą od wartości oczekiwanej, więc jest miarą ryzyka: dwa zakłady mogą mieć tę samą E(X) i bardzo różny rozrzut.
Przy liczebnościach każda liczba jest dzielona przez sumę, aby otrzymać empiryczne prawdopodobieństwo. Jeśli 20 rodzin ma 0, 1, 2 lub 3 dzieci, przy liczebnościach 4, 9, 5 i 2, prawdopodobieństwa wynoszą 0,2, 0,45, 0,25 i 0,1, a E(X) = 1,25 dziecka, przy SD równym 0,8874 — przypomnienie, że wartość oczekiwana nie musi być wartością, która faktycznie może wystąpić.
Trzy przykłady krok po kroku
| Przykład | Wyniki | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| Gra w kości | Wygrana 3 USD z prawdopodobieństwem 1/6; przegrana 1 USD z prawdopodobieństwem 5/6 | −0,33 USD | 1,49 USD |
| Ubezpieczenie, z punktu widzenia ubezpieczyciela | Zachowanie składki 200 USD z prawdopodobieństwem 0,998; wypłata 49 800 USD netto z prawdopodobieństwem 0,002 | +100 USD | 2 233,83 USD |
| Los na loterii | Wygrana 499 USD netto z prawdopodobieństwem 0,001; utrata stawki 1 USD z prawdopodobieństwem 0,999 | −0,50 USD | 15,80 USD |
Gra w kości. Płacisz 1 USD za rzut kostką i wygrywasz 4 USD przy szóstce, czyli zysk netto 3 USD. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, więc średnio tracisz około 33 centów na grę. Zagraj 600 razy, a powinieneś spodziewać się straty rzędu 200 USD.
Polisa ubezpieczeniowa. Ubezpieczyciel pobiera 200 USD rocznie za polisę, która wypłaca 50 000 USD z prawdopodobieństwem 0,2%. Jego oczekiwany zysk to 200 × 0,998 + (−49 800) × 0,002 = 100 USD na polisę — więc dla klienta wartość oczekiwana wynosi −100 USD. Kupno może być racjonalne: klient wymienia niewielką, pewną stratę na ochronę przed dużą, a odchylenie standardowe 2 233,83 USD to ryzyko, które przekazuje.
Los na loterii. Kupon typu „pick three” kosztujący 1 USD wygrywa 500 USD, jeśli wylosują się twoje trzy cyfry — szansa 1 do 1000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: średnio przepada połowa każdego dolara stawki.
Najczęstsze pytania
- Jak obliczyć wartość oczekiwaną?
- Pomnóż każdy możliwy wynik przez jego prawdopodobieństwo i zsumuj iloczyny: E(X) = Σ x × P(x). Dla uczciwej sześciościennej kostki E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. Tabela robocza powyżej pokazuje każdy iloczyn dla twojego rozkładu.
- Czy wartość oczekiwana może być ujemna?
- Tak. Ujemna wartość oczekiwana oznacza, że średnio, przy wielu powtórzeniach, tracisz — typowe dla gier kasynowych i loterii, w których operator ma wbudowaną przewagę. Jej znak zależy od tego, jak zdefiniujesz wyniki: zysk ubezpieczyciela +100 USD to strata klienta −100 USD.
- Czym różni się wartość oczekiwana od średniej?
- Wartość oczekiwana to średnia rozkładu prawdopodobieństwa — długookresowa średnia z nieskończenie wielu prób. Średnia z próby to średnia z faktycznie zaobserwowanych danych. Według prawa wielkich liczb średnia z wielu niezależnych prób zbliża się do wartości oczekiwanej.
- Czy prawdopodobieństwa muszą sumować się do 1?
- Tak. Poprawny rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdy możliwy wynik dokładnie raz, więc prawdopodobieństwa muszą dać sumę 1. Jeśli twoje tak nie sumują się, brakuje jakiegoś wyniku, jeden jest liczony dwa razy albo liczby są w rzeczywistości liczebnościami — wtedy przełącz się na liczebności, a kalkulator je przeliczy.
- Jak znaleźć wariancję rozkładu prawdopodobieństwa?
- Podnieś do kwadratu odległość każdego wyniku od wartości oczekiwanej, pomnóż przez jego prawdopodobieństwo i dodaj: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Skrót daje ten sam wynik: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji, w tych samych jednostkach co wyniki.
- Dlaczego ludzie kupują losy, skoro wartość oczekiwana jest ujemna?
- Wartość oczekiwana opisuje średnią długookresową, a ludzie nie decydują wyłącznie na podstawie średnich. Loteria oferuje małą szansę na sumę zmieniającą życie za symboliczną stawkę, a ubezpieczenie usuwa zrujnowującą stratę za przewidywalny koszt. Teoria decyzji ujmuje to przez użyteczność — ocenianie wyników przez ich konsekwencje, a nie przez wartość nominalną.