Calcolatore del Valore Atteso
Elenca gli esiti possibili con le loro probabilità — decimali, percentuali o frazioni come 1/6 — oppure con quante volte si sono verificati, e ottieni il valore atteso E(X), la varianza e la deviazione standard, con una tabella di lavoro. Il calcolatore verifica che le probabilità sommino a 1 e carica esempi svolti per un gioco con i dadi, una polizza assicurativa e un biglietto della lotteria.
0 esiti letti. Le probabilità possono essere decimali (0,25), percentuali (25%) o frazioni (1/4). Se scrivi i decimali con la virgola, separa i campi con il punto e virgola (3; 0,25). Le parole prima dei numeri vengono ignorate, quindi puoi etichettare ogni riga.
Prova un esempio
Inserisci almeno due esiti, uno per riga.
Come usare il calcolatore del valore atteso
- 1. Scegli probabilità o frequenze. Usa le probabilità per una distribuzione teorica, e le frequenze quando hai dei conteggi: il calcolatore li divide per il loro totale.
- 2. Inserisci un esito per riga. Prima il valore, poi la sua probabilità o frequenza:
3, 1/6. Le parole davanti ai numeri vengono ignorate, quindi una riga può essereVittoria: esce un sei, 3, 1/6. Se scrivi i decimali con la virgola, separa i campi con il punto e virgola, per esempio 3; 0,25. - 3. Leggi E(X), la varianza e la SD. Se le probabilità non sommano a 1, il calcolatore lo segnala invece di produrre una risposta fuorviante; una somma entro 0,01 da 1 è accettata come arrotondamento.
- 4. Segui la tabella. Ogni riga mostra x × P(x) e (x − μ)² × P(x); i totali di colonna sono il valore atteso e la varianza.
Valore atteso, varianza e deviazione standard
Valore atteso
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Varianza
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Deviazione standard
SD(X) = √Var(X)
Il valore atteso pesa ciascun esito in base a quanto è probabile. Perché abbia senso, ogni probabilità deve stare tra 0 e 1 e tutte insieme devono sommare esattamente a 1: ogni esito possibile elencato una sola volta. La varianza misura quanto gli esiti si discostano in genere dal valore atteso, quindi è una misura del rischio: due scommesse possono avere lo stesso E(X) e dispersioni molto diverse.
Con le frequenze, ogni conteggio viene diviso per il totale per ottenere una probabilità empirica. Se 20 famiglie hanno 0, 1, 2 o 3 figli, con conteggi 4, 9, 5 e 2, le probabilità sono 0,2, 0,45, 0,25 e 0,1, e E(X) = 1,25 figli, con una SD di 0,8874: un promemoria che il valore atteso non deve essere un valore che può effettivamente verificarsi.
Tre esempi svolti
| Esempio | Esiti | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| Gioco con il dado | Vince 3 $ con probabilità 1/6; perde 1 $ con probabilità 5/6 | −0,33 $ | 1,49 $ |
| Assicurazione, dal punto di vista dell'assicuratore | Incassa il premio di 200 $ con probabilità 0,998; paga 49.800 $ netti con probabilità 0,002 | +100 $ | 2.233,83 $ |
| Biglietto della lotteria | Vince 499 $ netti con probabilità 0,001; perde la posta di 1 $ con probabilità 0,999 | −0,50 $ | 15,80 $ |
Il gioco con il dado. Paghi 1 $ per lanciare un dado e vinci 4 $ con un sei, un guadagno netto di 3 $. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, quindi in media perdi circa 33 centesimi a partita. Gioca 600 volte e dovresti aspettarti di essere in perdita di circa 200 $.
La polizza assicurativa. Un'assicurazione fa pagare 200 $ l'anno una polizza che versa 50.000 $ con probabilità dello 0,2%. Il suo profitto atteso è 200 × 0,998 + (−49.800) × 0,002 = 100 $ per polizza, quindi per il cliente il valore atteso è −100 $. Acquistare può comunque essere razionale: il cliente scambia una perdita piccola e certa con la protezione da una perdita grande, e la SD di 2.233,83 $ è il rischio che viene trasferito.
Il biglietto della lotteria. Un biglietto «pick three» da 1 $ vince 500 $ se escono le tue tre cifre: una probabilità di 1 su 1.000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: in media, metà di ogni dollaro puntato va perso.
Domande frequenti
- Come si calcola il valore atteso?
- Moltiplica ciascun esito possibile per la sua probabilità e somma i prodotti: E(X) = Σ x × P(x). Per un dado a sei facce equilibrato, E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. La tabella di lavoro qui sopra mostra ciascun prodotto per la tua distribuzione.
- Il valore atteso può essere negativo?
- Sì. Un valore atteso negativo significa che, in media su molte ripetizioni, si perde: è tipico dei giochi d'azzardo e delle lotterie, dove il banco ha un vantaggio incorporato. Il suo segno dipende da come definisci gli esiti: il +100 $ dell'assicuratore è il −100 $ del cliente.
- Qual è la differenza tra valore atteso e media?
- Il valore atteso è la media di una distribuzione di probabilità, cioè la media a lungo termine che otterresti con infinite prove. La media campionaria è la media dei dati che hai effettivamente osservato. Per la legge dei grandi numeri, la media campionaria di molte prove indipendenti si avvicina sempre di più al valore atteso.
- Le probabilità devono sommare a 1?
- Sì. Una distribuzione di probabilità valida elenca ogni esito possibile una sola volta, quindi le probabilità devono sommare a 1. Se non lo fanno, manca un esito, ne è stato contato due volte oppure i numeri sono in realtà conteggi: in quel caso passa alle frequenze e il calcolatore le convertirà.
- Come si trova la varianza di una distribuzione di probabilità?
- Eleva al quadrato la distanza di ciascun esito dal valore atteso, moltiplicala per la sua probabilità e somma: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Una scorciatoia dà lo stesso risultato: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, nelle stesse unità degli esiti.
- Perché le persone comprano biglietti della lotteria se il valore atteso è negativo?
- Il valore atteso descrive la media a lungo termine, e le persone non decidono solo in base alle medie. La lotteria offre una piccola probabilità di una somma che cambia la vita in cambio di una posta irrisoria, e l'assicurazione elimina una perdita rovinosa a un costo prevedibile. La teoria delle decisioni lo descrive con l'utilità: valutare gli esiti per le loro conseguenze e non per il loro valore nominale.