Calcolatore del test binomiale
Inserisci il numero di successi, il numero di prove e la probabilità che vuoi verificare, e ottieni il p-value binomiale esatto per tutte e tre le alternative, l'intervallo di confidenza di Clopper–Pearson, l'intervallo di Wilson per confronto e la h di Cohen come misura dell'effetto. La distribuzione binomiale sotto l'ipotesi nulla è tabulata, così vedi quali esiti formano il p-value. Gratuito, senza registrazione.
Un valore tra 0 e 1, per esempio 0,5 o 0,25.
Inserisci il numero di successi, il numero di prove e p₀.
Come usare il calcolatore del test binomiale
- 1. Inserisci i conteggi. Scrivi il numero di successi (k) e il numero di prove (n). Un successo è l'esito che stai contando: una testa, una risposta corretta, un intervistato che è d'accordo.
- 2. Inserisci p₀. È la probabilità di successo sotto la tua ipotesi nulla: 0,5 per una moneta equilibrata, 0,25 per un'ipotesi tra quattro opzioni, oppure un valore di riferimento pubblicato.
- 3. Scegli l'alternativa e il livello di confidenza. Due code chiede se la probabilità vera differisce da p₀ in un senso o nell'altro; le scelte a una coda chiedono soltanto una direzione.
- 4. Leggi il risultato. Il p-value esatto, l'intervallo di confidenza per la probabilità vera e la tabella della distribuzione nulla compaiono qui sotto. Copia la riga APA quando hai finito.
Come funziona il test binomiale esatto
Se ogni prova è indipendente e ha la stessa probabilità p₀ di successo, il numero di successi X segue una distribuzione Binomiale(n, p₀): P(X = j) = C(n, j) p₀j (1 − p₀)n−j. I p-value a una coda sono code semplici — P(X ≤ k) per «la probabilità è minore di p₀» e P(X ≥ k) per «maggiore». Non c'è alcuna approssimazione, quindi il test è valido per qualsiasi n, compresi i campioni molto piccoli e le probabilità vicine a 0 o a 1, dove un test z con approssimazione normale non regge.
Il p-value a due code richiede attenzione. Raddoppiare la coda più piccola è corretto solo quando p₀ = 0,5, perché soltanto allora la distribuzione è simmetrica. Questo calcolatore usa la regola di binom.test di R e di binomtest di SciPy: somma la probabilità di ogni esito che non è più probabile di quello osservato. La tabella segna quegli esiti, così vedi esattamente che cosa è stato contato. Per una nulla simmetrica equivale al doppio della coda più piccola.
L'intervallo di confidenza per la probabilità vera è quello di Clopper–Pearson (esatto), costruito con i quantili della distribuzione beta. Garantisce almeno la copertura dichiarata, quindi tende a essere largo. Accanto è mostrato l'intervallo di Wilson score, perché è più stretto e ha una copertura vicina a quella nominale. Per un'alternativa a una coda anche l'intervallo esatto è a una coda, come in R.
Esempio svolto: verifica di un riferimento del 30%
Clicca Prova un esempio per caricare un sondaggio in cui 61 intervistati su 150 hanno scelto un'opzione che un riferimento pubblicato dà al 30% delle persone. La proporzione osservata è p̂ = 0,407; il numero atteso di successi sotto H₀ è 45.
Test binomiale esatto, passo per passo
X ~ Binomiale(150, 0,3); P(X = 61) = 0,001418
Esiti non più probabili di 61: 0–29 e 61–150 → p a due code = 0,0056
Una coda: P(X ≥ 61) = 0,0035; P(X ≤ 61) = 0,998
IC 95% di Clopper–Pearson [0,327; 0,490]; h di Cohen = 0,22
In stile APA: più intervistati hanno scelto l'opzione rispetto al riferimento del 30%, 61 su 150 (p̂ = ,41), test binomiale esatto rispetto a p₀ = ,30: p = ,006, IC 95% [,33; ,49]. L'intervallo esclude ,30, in accordo con il test, e h = 0,22 è un effetto piccolo-medio secondo la regola empirica di Cohen (0,2 piccolo, 0,5 medio, 0,8 grande).
Test binomiale o un altro test?
| Situazione | Scelta migliore |
|---|---|
| Una proporzione, qualunque sia la dimensione del campione | Test binomiale esatto |
| Campione grande, con np₀ e n(1 − p₀) entrambi almeno 10 | Approssimazione normale (test z per una proporzione), che concorda molto bene |
| Due proporzioni indipendenti | Test z per due proporzioni, oppure il test esatto di Fisher per conteggi piccoli |
| Esiti sì/no appaiati | Test di McNemar, che è un test binomiale sulle coppie discordanti |
| Conteggi su tre o più categorie | Chi-quadrato di adattamento |
Domande frequenti
- A che cosa serve il test binomiale?
- Verifica se la proporzione di successi in un campione è compatibile con una probabilità ipotizzata: per esempio se una moneta è equilibrata, se un tasso di superamento corrisponde a un obiettivo, o se la quota di persone che sceglie un'opzione differisce da un riferimento. Funziona per qualsiasi dimensione del campione perché usa probabilità binomiali esatte.
- Quando conviene il test binomiale rispetto a un test z?
- Usalo ogni volta che il campione è piccolo o p₀ è vicino a 0 o a 1, cioè quando np₀ o n(1 − p₀) sono sotto circa 10, perché lì l'approssimazione normale del test z non è affidabile. Con un campione grande i due risultati sono quasi uguali, ma il test esatto non sbaglia mai, quindi c'è poco motivo di preferire l'approssimazione.
- Perché il p-value a due code non è semplicemente il doppio di quello a una coda?
- Raddoppiare funziona solo se la distribuzione nulla è simmetrica, cosa che accade quando p₀ = 0,5. Per qualsiasi altro p₀ la distribuzione è asimmetrica, e gli esiti dell'altra coda che sono altrettanto improbabili del tuo non sono un'immagine speculare. Il metodo standard somma le probabilità di ogni esito non più probabile di quello osservato.
- Come riporto un test binomiale in stile APA?
- Indica i conteggi e il test, la probabilità ipotizzata, il p-value esatto e l'intervallo: 61 su 150 (p̂ = ,41), test binomiale esatto rispetto a p₀ = ,30: p = ,006, IC 95% [,33; ,49]. Metti in corsivo p e p̂ ed elimina lo zero iniziale dalle proporzioni che non possono superare 1.
- Quale intervallo di confidenza devo riportare?
- L'intervallo di Clopper–Pearson si accoppia naturalmente con il test esatto e garantisce almeno la copertura nominale, ma è prudenziale. L'intervallo di Wilson è più corto e ha una copertura più vicina al livello nominale, ed è una buona scelta per riportare una proporzione. Qualunque scegli, dichiara quale è.
- Quali ipotesi fa il test binomiale?
- Che ogni prova abbia esattamente due esiti, che le prove siano indipendenti, che la probabilità di successo sia la stessa in ogni prova e che il numero di prove sia stato fissato in anticipo. Il campionamento senza reinserimento da una popolazione piccola viola l'indipendenza; in quel caso il modello giusto è la distribuzione ipergeometrica.