Calcolatore di Adattamento di Curve
Incolla i valori di x e y e adatta in un colpo solo curve lineari, polinomiali (grado 2–6), esponenziali, logaritmiche e di potenza. Ottieni ogni equazione con R², R² corretto, RMSE, AIC e AICc affiancati, un grafico con tutte le curve, la diagnostica dei residui, gli errori standard dei parametri e le previsioni per nuovi valori di x. Gratuito, senza registrazione; tutto avviene nel tuo browser.
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Inserisci almeno quattro coppie (x, y), con almeno tre valori di x diversi.
Come usare il calcolatore di adattamento di curve
- 1. Inserisci i dati. Scrivi due liste con valori in corrispondenza, oppure una coppia «x, y» per riga. Servono quattro o più punti con almeno tre valori di x diversi; più ce ne sono, meglio è.
- 2. Scegli i modelli. Seleziona le curve da confrontare. I modelli logaritmico e di potenza richiedono ogni x maggiore di 0; i modelli esponenziale e di potenza richiedono ogni y maggiore di 0. Un modello che non può essere adattato spiega il motivo.
- 3. Scegli il metodo di adattamento per le curve esponenziali e di potenza. I minimi quadrati non lineari sulla y originale danno il miglior adattamento ai valori effettivi. L'opzione trasformata adatta una retta ai valori di ln y, come fanno le linee di tendenza dei fogli di calcolo.
- 4. Confronta e verifica. Leggi la tabella, poi il grafico e i residui del modello che stai considerando: il numero migliore conta poco se la forma della curva è sbagliata. Usa la casella di previsione per i nuovi valori di x.
Le curve
| Modello | Equazione | Uso tipico |
|---|---|---|
| Lineare | y = a₀ + a₁x | Cambiamento costante |
| Polinomiale, grado d | y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d | Una curva liscia con curvature; al massimo d − 1 punti di svolta |
| Esponenziale | y = a·e^(bx) | Crescita o decrescita a un tasso percentuale costante |
| Logaritmico | y = a + b·ln x | Cambiamento rapido che poi si livella |
| Di potenza | y = a·x^b | Leggi di scala; b è l'elasticità |
Ogni polinomio è adattato con la decomposizione QR su una x centrata e riscalata, quindi un adattamento di grado 6 agli anni di calendario (1990–2020) è accurato quanto uno tra 0 e 1, e le previsioni usano quella forma stabile. I coefficienti espansi mostrati nell'equazione possono ancora perdere cifre per cancellazione quando x è grande e lontana da zero, e la pagina avvisa quando succede. Le equazioni delle linee di tendenza dei fogli di calcolo, che arrotondano i coefficienti a poche cifre, non possono riprodurre curve di grado elevato su valori di x grandi come anni, per la stessa ragione.
Perché il metodo conta per gli adattamenti esponenziali e di potenza
Un adattamento trasformato prende ln y, trova la retta dei minimi quadrati e poi riconverte. Così minimizza gli errori sulla scala logaritmica, dando più peso ai valori piccoli e meno a quelli grandi. Un adattamento non lineare minimizza gli errori quadratici sulla y stessa, che di solito è ciò che ti interessa. I due metodi danno parametri diversi per gli stessi dati, e valori di R² diversi. Questo calcolatore riporta l'R² sulla y originale per ogni modello, così i modelli si possono confrontare in modo equo e, per un adattamento trasformato, anche l'R² sulla scala logaritmica che mostrerebbe un foglio di calcolo.
Un esempio svolto
L'esempio carica le classiche 50 misurazioni di frenata di automobili (i dati cars di R): velocità in mph contro distanza di arresto in piedi. Sei modelli, adattati sulla scala originale:
| Modello | R² | RMSE | AICc | Δ AICc |
|---|---|---|---|---|
| Di potenza: y = 0,5897 x^1,5493 | 0,6654 | 15,06 | 417,59 | 0 |
| Esponenziale: y = 9,4045 e^(0,0917x) | 0,6649 | 15,07 | 417,66 | 0,07 |
| Quadratico | 0,6673 | 15,18 | 419,66 | 2,07 |
| Lineare: y = −17,58 + 3,932x | 0,6511 | 15,38 | 419,68 | 2,09 |
| Cubico | 0,6732 | 15,20 | 421,25 | 3,66 |
| Logaritmico | 0,5607 | 17,26 | 431,19 | 13,61 |
R² cresce con ogni termine polinomiale — il cubico segna 0,6732 e un polinomio di grado 6 0,6888 — ma l'AICc, che penalizza ogni parametro, mette in testa i modelli di potenza ed esponenziale a due parametri. La curva di potenza ha anche un significato sensato: la distanza di frenata cresce più o meno come la velocità elevata alla 1,5 (b = 1,55, errore standard 0,19), tra la relazione lineare e quella quadratica che suggerisce la fisica. I modelli migliori distano circa 2 punti di AICc l'uno dall'altro, quindi i dati non riescono a separarli: preferisci quello che ha senso. Adattata come curva di potenza trasformata, l'R² sulla scala logaritmica è 0,7331, ma l'R² sulla scala originale scende a 0,6583.
Scegliere un modello con giudizio
- Parti dal grafico, poi guarda i residui. Uno schema nei residui significa che la forma è sbagliata.
- Usa l'AICc, non l'R², per confrontare modelli con un numero diverso di parametri. L'AICc è confrontabile solo tra modelli adattati agli stessi valori di y. Differenze sotto circa 2 non sono significative.
- Preferisci la teoria. Se conosci il processo (crescita composta, una legge di scala), usa il modello corrispondente anche se un altro ottiene un punteggio leggermente migliore.
- Tieni basso il grado dei polinomi. Oltre il grado 3 o 4 un polinomio di solito insegue il rumore e oscilla violentemente fuori dai dati. Non estrapolare con uno di questi.
Domande frequenti
- Come scelgo la curva che si adatta meglio?
- Disegna i dati e ciascuna curva, verifica che i residui si distribuiscano in modo uniforme attorno allo zero e confronta l'AICc tra i modelli. Da solo, l'R² premia sempre il modello con più parametri. Poi chiediti se il vincitore ha senso per il processo che stai studiando e se lo userai solo tra il tuo valore di x più piccolo e quello più grande.
- Perché il mio R² esponenziale è diverso da quello di Excel?
- La linea di tendenza esponenziale di Excel adatta una retta a ln y e riporta l'R² di quell'adattamento sulla scala logaritmica. Un adattamento non lineare dei minimi quadrati minimizza gli errori sulla y stessa e il suo R² è misurato sulla y. Questo calcolatore può fare entrambi e mostra l'R² sulla scala logaritmica per l'opzione trasformata e l'R² sulla scala originale per tutti i modelli, così il confronto è equo.
- Quale grado di polinomio dovrei usare?
- Usa il grado più basso che cattura la forma che vedi, di solito 2 o 3. Ogni grado in più permette alla curva di piegarsi ancora una volta e di adattarsi al rumore: l'R² sale ma le previsioni peggiorano. Ti servono almeno grado + 2 punti dati, e molti di più per un adattamento affidabile.
- Perché non posso adattare un modello logaritmico, di potenza o esponenziale ai miei dati?
- Il logaritmo è definito solo per numeri positivi. Un modello logaritmico o di potenza richiede ogni x maggiore di 0, e un modello esponenziale o di potenza richiede ogni y maggiore di 0, perché l'adattamento lavora tramite ln y o ln x. Traslare i dati (per esempio misurando il tempo da 1 invece che da 0) è accettabile solo se ha senso per il tuo problema.
- Che cosa significano AIC e AICc?
- L'AIC bilancia adattamento e complessità: è −2 volte il logaritmo della verosimiglianza più due volte il numero di parametri (contando la varianza dell'errore). L'AICc aggiunge una correzione che conta quando n è piccolo rispetto al numero di parametri. Valori più bassi sono migliori, e contano solo le differenze. I valori qui usano la definizione di R, quindi coincidono con l'AIC di R per lo stesso modello.
- Posso usare l'equazione adattata per prevedere al di fuori dei miei dati?
- Solo con grande cautela. Ogni curva qui è una descrizione empirica dell'intervallo che hai misurato. I polinomi possono oscillare violentemente appena oltre i dati, e un'esponenziale può esplodere. La casella di previsione ti avvisa quando il nuovo x cade fuori dall'intervallo osservato.