Calcolatore di dati raggruppati

Come usare il calcolatore di dati raggruppati

1. 1. Inserisci le classi. Una classe per riga: il limite inferiore, il limite superiore e la frequenza, separati da una virgola, due punti o uno spazio. Un trattino, un trattino lungo o la parola «a» funzionano tra i limiti, quindi «10-20, 5», «10 – 20: 5» e «10 a 20 5» vengono letti allo stesso modo.
2. 2. Scegli come trattare i confini. Se le classi si toccano (0–10, 10–20), vengono usate come scritte. Se lasciano un intervallo (10–19, 20–29), il calcolatore sposta per impostazione predefinita ciascun confine verso l'esterno di metà intervallo (9,5–19,5), come fanno i libri di testo per la mediana. Puoi disattivarlo.
3. 3. Leggi le statistiche. Le schede mostrano media, mediana, moda e deviazione standard campionaria; la tabella riporta anche i quartili e le versioni di popolazione.
4. 4. Segui il procedimento. Ogni formula è scritta per esteso con i tuoi numeri, così puoi verificarla con i tuoi appunti o copiare il metodo.

Le formule per i dati raggruppati

Una tabella raggruppata elimina i valori individuali, quindi ogni classe è rappresentata dal suo punto medio x e ogni valore al suo interno è trattato come se fosse uguale a x. Con frequenza f e frequenza totale n = Σf:

La classe mediana è la prima classe la cui frequenza cumulata raggiunge n ÷ 2. La formula colloca la mediana in proporzione all'interno di quella classe, come si ricaverebbe leggendola su un poligono delle frequenze cumulate (un'ogiva). La classe modale è quella con la frequenza più alta; la moda si sposta verso la vicina più alta.

Limiti di classe e confini di classe

I limiti di classe sono il valore più piccolo e quello più grande che una classe può contenere così come registrati: 10–19 e 20–29 per età in anni interi. Tra 19 e 20 c'è un intervallo, quindi un valore misurato di 19,6 non trova posto da nessuna parte. I confini di classe chiudono l'intervallo dividendolo: 9,5–19,5 e 19,5–29,5. Le formule di mediana, quartili e moda usano i confini, perché interpolano lungo una scala continua. Il punto medio è lo stesso in entrambi i casi, quindi media e deviazione standard non cambiano.

Esempio svolto

Clicca su «Prova un esempio» per caricare cinque classi di voti su 50 — 0–10 (3 studenti), 10–20 (7), 20–30 (12), 30–40 (14) e 40–50 (9) — quindi n = 45 e i punti medi sono 5, 15, 25, 35 e 45.

• Media: Σfx = 15 + 105 + 300 + 490 + 405 = 1.315, quindi x̄ = 1.315 ÷ 45 = 29,2222.
• Varianza e deviazione standard: Σfx² = 44.525, quindi s² = (44.525 − 1.315² ÷ 45) ÷ 44 = 138,5859 e s = 11,7722. Dividendo per n invece, la varianza di popolazione è 135,5062 e la deviazione standard 11,6407.
• Mediana: n ÷ 2 = 22,5. Le frequenze cumulate sono 3, 10, 22, 36, 45, quindi la classe mediana è 30–40, con CF = 22 e f = 14. Mediana = 30 + ((22,5 − 22) ÷ 14) × 10 = 30,3571.
• Quartili: Q1 cade a 11,25, nella classe 20–30: 20 + ((11,25 − 10) ÷ 12) × 10 = 21,0417. Q3 cade a 33,75, in 30–40: 30 + ((33,75 − 22) ÷ 14) × 10 = 38,3929.
• Moda: la classe modale è 30–40 (f₁ = 14), con le vicine 12 e 9. Δ1 = 2 e Δ2 = 5, quindi la moda è 30 + (2 ÷ 7) × 10 = 32,8571.

La media (29,2) è inferiore alla mediana (30,4), che è inferiore alla moda (32,9): l'ordine che ci si aspetta per dati con una coda più lunga verso i voti bassi.

Quanto sono accurate le statistiche sui dati raggruppati?

Sono stime. Sostituire ogni valore con il punto medio della sua classe è esatto solo se i valori sono distribuiti uniformemente all'interno di ciascuna classe, quindi la media raggruppata di solito cade vicino alla media vera, mentre la mediana e la moda raggruppate sono interpolazioni e non valori osservati. Per dati continui la varianza tende a essere leggermente sovrastimata; la correzione di Sheppard sottrae w² ÷ 12 (w è l'ampiezza della classe) quando le classi sono uguali e strette rispetto alla dispersione. Se hai ancora i dati grezzi, usa invece il Calcolatore di Statistiche; usa questo strumento quando hai soltanto una tabella.

Domande frequenti

Come si calcola la media dei dati raggruppati?

Trova il punto medio di ciascuna classe, moltiplicalo per la frequenza della classe, somma questi prodotti e dividi per la frequenza totale: x̄ = Σfx ÷ n. Per le classi 0–10, 10–20 e così via con frequenze 3, 7, 12, 14 e 9, i prodotti sommano a 1.315 e la media è 1.315 ÷ 45 = 29,2222.

Come si calcola la mediana dei dati raggruppati?

Calcola n ÷ 2, trova la prima classe la cui frequenza cumulata lo raggiunge (la classe mediana), poi applica L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w, dove L è il confine inferiore di quella classe, CF la frequenza cumulata prima di essa, f la sua frequenza e w la sua ampiezza. Il risultato cade all'interno della classe mediana.

Come si calcola la moda dei dati raggruppati?

Scegli la classe con la frequenza più alta (la classe modale) e usa L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w, dove Δ1 è la sua frequenza meno quella della classe precedente, Δ2 è la sua frequenza meno quella della classe successiva, e w è la sua ampiezza. Se due classi sono a pari merito, il calcolatore riporta una moda per ciascuna.

Come si calcola la deviazione standard da una tabella di frequenze?

Calcola la media, poi s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1) e prendi la radice quadrata. Usa n invece di n − 1 per una popolazione. Il calcolatore mostra entrambe le versioni, così puoi allinearti a quella richiesta dal tuo corso.

Qual è la differenza tra limiti di classe e confini di classe?

I limiti sono gli estremi registrati di una classe (10–19, 20–29). I confini sono i punti a metà degli intervalli (9,5, 19,5, 29,5) che rendono continue le classi. Le formule di mediana, quartili e moda usano i confini; il punto medio, la media e la deviazione standard non cambiano.

Perché la mia media raggruppata è diversa dalla media dei dati grezzi?

Il raggruppamento fa perdere informazioni. Ogni valore di una classe è trattato come se stesse nel punto medio, quindi la media raggruppata è solo un'approssimazione. Più classi usi, e più i valori sono distribuiti uniformemente in ciascuna, più la media si avvicina a quella vera.

Le classi possono avere ampiezze diverse?

Sì. Media, varianza, mediana e quartili funzionano con qualsiasi ampiezza. Per la moda, il calcolatore confronta la densità di frequenza (frequenza ÷ ampiezza) invece della frequenza grezza, perché una classe ampia raccoglie naturalmente più valori. Quando lo fa, mostra una nota.