Calcolatore di intervalli di confidenza bootstrap
Incolla i dati, scegli una statistica — media, mediana, deviazione standard o correlazione — e ottieni gli intervalli di confidenza bootstrap percentile e BCa, l'errore standard e la distorsione bootstrap, e un istogramma della statistica ricampionata. Il seme casuale è registrato, quindi ogni risultato si ripete esattamente, e il metodo segue Efron e Tibshirani e boot.ci di R. Gratuito, senza registrazione; i tuoi dati restano nel browser.
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Stessi dati, impostazioni e seme danno sempre gli stessi intervalli.
Inserisci i dati, poi premi «Esegui bootstrap».
Come usare il calcolatore di intervalli di confidenza bootstrap
- 1. Scegli la statistica e incolla i dati. Per una media, una mediana o una deviazione standard inserisci un'unica lista di numeri. Per una correlazione inserisci coppie di valori x e y. Sono supportati campioni fino a 2.000 valori.
- 2. Imposta il livello di confidenza e il numero di ricampionamenti. 95% e 5.000 ricampionamenti sono valori predefiniti adeguati; usa 10.000 o più quando vuoi che gli estremi dell'intervallo siano stabili fino alla seconda cifra decimale.
- 3. Annota il seme. Il seme avvia il generatore di numeri casuali. Gli stessi dati, le stesse impostazioni e lo stesso seme danno sempre intervalli identici, quindi scrivi il seme nella sezione dei metodi. Premi «Nuovo seme casuale» per un nuovo insieme di ricampionamenti.
- 4. Premi «Esegui bootstrap». Leggi gli intervalli percentile e BCa, l'errore standard e la distorsione bootstrap, e controlla l'istogramma delle statistiche ricampionate.
Che cosa fa il bootstrap
Il bootstrap tratta il tuo campione come un sostituto della popolazione. Estrae dai tuoi dati un nuovo campione della stessa dimensione con reinserimento, calcola la statistica e ripete l'operazione migliaia di volte. La dispersione di quelle statistiche ricampionate mostra quanto la statistica varierebbe da un campione all'altro. Non serve una formula per l'errore standard, quindi funziona per mediane, correlazioni e altre statistiche per cui gli intervalli dei manuali sono complicati o non disponibili. Non è magia: non può correggere un campione distorto o molto piccolo, e fallisce per statistiche che dipendono dagli estremi, come il massimo.
Intervalli percentile, BCa, base e normale
| Intervallo | Come si costruisce | Punti di forza | Limiti |
|---|---|---|---|
| Percentile | Il 95% centrale delle statistiche ricampionate (il 2,5° e il 97,5° percentile) | Semplice; resta nel campo dei valori possibili; invariante rispetto alle trasformazioni | Distorto quando la statistica è distorta o asimmetrica |
| BCa | Percentile, ma con percentili corretti per la distorsione (z₀) e l'asimmetria (accelerazione a) | Accurato al secondo ordine; il default consigliato (Efron & Tibshirani, 1993) | Richiede un campione abbastanza grande e un numero sufficiente di ricampionamenti |
| Base | 2 × stima − i percentili opposti | Riflette lo scarto tra la distribuzione bootstrap e la stima | Può uscire dal campo dei valori possibili, ad esempio una correlazione sopra 1 |
| Normale | Stima − distorsione ± z × errore standard bootstrap | Facile da leggere | Presuppone una distribuzione bootstrap a campana |
BCa usa due numeri. La correzione della distorsione z₀ = Φ⁻¹(quota di ricampionamenti sotto la stima) vale 0 quando le statistiche ricampionate sono centrate sulla stima. L'accelerazione a misura quanto rapidamente cambia l'errore standard al variare del parametro; si stima con il jackknife, cioè ricalcolando la statistica lasciando fuori, a turno, ciascun valore. I percentili effettivamente letti sono Φ(z₀ + (z₀ + z) ÷ (1 − a(z₀ + z))) invece di 2,5% e 97,5%, interpolati tra le statistiche d'ordine sulla scala normale esattamente come fa il pacchetto boot di R.
Esempio svolto
Clicca su «Prova un esempio» per caricare 12 valori: 2.1, 2.4, 2.6, 2.7, 2.9, 3, 3.2, 3.5, 3.9, 4.6, 5.8 e 8.2, un campione asimmetrico a destra, con la media come statistica, confidenza al 95%, 5.000 ricampionamenti e seme 12345. La media è 3,7417. L'errore standard bootstrap è 0,4812 e la distorsione −0,0054.
- Intervallo percentile: da 2,9333 a 4,7998.
- Intervallo BCa: da 3,05 a 5,125, con z₀ = 0,0818 e a = 0,0755. L'asimmetria dei dati sposta verso l'alto l'intervallo BCa e allunga il suo estremo superiore rispetto all'intervallo percentile.
- Per confronto, l'intervallo t classico va da 2,635 a 4,848: è simmetrico attorno alla media e ignora l'asimmetria.
Poiché il generatore usa un seme, questi numeri si ripetono a ogni esecuzione. Il boot.ci di R con 200.000 ricampionamenti dà, per gli stessi dati, un intervallo percentile da 2,917 a 4,792 e un intervallo BCa da 3,033 a 5,1: lo stesso metodo, con estrazioni casuali diverse, quindi concordano entro l'errore Monte Carlo. Con la mediana come statistica, le stesse impostazioni danno una mediana di 3,1, un intervallo percentile da 2,65 a 4,25 e un intervallo BCa da 2,6 a 4,05; in questo caso l'accelerazione jackknife è zero, perché eliminare un valore da un campione di numero pari può spostare la mediana solo su uno dei due valori centrali. Per l'esempio di correlazione la stima è r = 0,9063, l'intervallo percentile va da 0,7371 a 0,9706 e l'intervallo BCa da 0,6703 a 0,9632; l'estremo superiore dell'intervallo base supera 1, per questo si preferisce l'intervallo percentile o BCa.
Scegliere il numero di ricampionamenti
Efron e Tibshirani suggeriscono 50–200 ricampionamenti per un errore standard, ma almeno 1.000 per un intervallo di confidenza, perché gli estremi dell'intervallo provengono dalle code della distribuzione ricampionata, dove ci sono pochi valori. L'errore Monte Carlo di un estremo diminuisce con la radice quadrata del numero di ricampionamenti, quindi 20.000 ricampionamenti lo riducono a circa la metà di quello ottenuto con 5.000. L'errore del ricampionamento è distinto dall'errore dovuto a un campione piccolo, che altri ricampionamenti non possono eliminare.
Domande frequenti
- Che cos'è un intervallo di confidenza bootstrap?
- È un intervallo per una statistica costruito ricampionando i propri dati con reinserimento, ricalcolando la statistica ogni volta e leggendo l'intervallo dalla distribuzione dei risultati. Per un intervallo percentile al 95% si prendono il 2,5° e il 97,5° percentile delle statistiche ricampionate.
- Devo usare l'intervallo percentile o quello BCa?
- BCa è il default migliore, perché corregge la distorsione e l'asimmetria della distribuzione ricampionata ed è più accurato in teoria e in pratica. Usa l'intervallo percentile quando vuoi la spiegazione più semplice, quando il campione è molto piccolo, o quando il BCa non può essere calcolato perché tutti i ricampionamenti stanno da un solo lato della stima.
- Quanti ricampionamenti bootstrap servono?
- Almeno 1.000 per un intervallo di confidenza, e 5.000–10.000 per un intervallo BCa stabile. Più ricampionamenti riducono l'oscillazione casuale agli estremi dell'intervallo, ma non rendono più informativo un campione piccolo.
- A cosa serve il seme casuale?
- Il bootstrap usa numeri casuali, quindi due esecuzioni normalmente danno intervalli leggermente diversi. Un seme fissa la sequenza e rende l'esecuzione esattamente ripetibile. Riporta il seme, il numero di ricampionamenti e il metodo, così altri potranno riprodurre i tuoi intervalli.
- Coinciderà esattamente con R, SPSS o Stata?
- I metodi coincidono: i percentili e i BCa seguono boot.ci di R, e gli stessi ricampionamenti danno intervalli identici. Però ogni programma usa il proprio generatore di numeri casuali, quindi gli intervalli concordano entro l'errore Monte Carlo, non fino all'ultima cifra. Con qualche migliaio di ricampionamenti, la differenza è tipicamente nella seconda cifra decimale.
- Quando non conviene usare il bootstrap?
- Con campioni molto piccoli (sotto circa 10–15 valori), in cui il campione potrebbe non rappresentare la popolazione; per statistiche dominate dagli estremi, come il minimo o il massimo; con dati dipendenti, come le serie temporali, a meno di usare un bootstrap a blocchi; e quando il campione è distorto, perché il ricampionamento riproduce la distorsione.