Bootstrap-Konfidenzintervall-Rechner

So verwenden Sie den Bootstrap-Konfidenzintervall-Rechner

1. 1. Wählen Sie die Kennzahl und fügen Sie die Daten ein. Für einen Mittelwert, Median oder eine Standardabweichung geben Sie eine Liste von Zahlen ein. Für eine Korrelation geben Sie gepaarte x- und y-Werte ein. Stichproben mit bis zu 2.000 Werten werden unterstützt.
2. 2. Legen Sie das Konfidenzniveau und die Anzahl der Resamples fest. 95 % und 5.000 Resamples sind gute Standardwerte; verwenden Sie 10.000 oder mehr, wenn die Intervallgrenzen auf die zweite Nachkommastelle stabil sein sollen.
3. 3. Notieren Sie den Seed. Der Seed startet den Zufallszahlengenerator. Dieselben Daten, Einstellungen und derselbe Seed ergeben immer identische Intervalle; notieren Sie den Seed daher in Ihrem Methodenteil. Drücken Sie „Neuer Zufalls-Seed“ für einen neuen Satz Resamples.
4. 4. Drücken Sie „Bootstrap starten“. Lesen Sie die Perzentil- und BCa-Intervalle sowie den Bootstrap-Standardfehler und die Verzerrung, und prüfen Sie das Histogramm der resampelten Kennzahlen.

Was der Bootstrap macht

Der Bootstrap behandelt Ihre Stichprobe als Stellvertreter für die Grundgesamtheit. Er zieht daraus eine neue Stichprobe derselben Größe mit Zurücklegen, berechnet die Kennzahl und wiederholt dies tausendfach. Die Streuung dieser resampelten Kennzahlen zeigt, wie stark die Kennzahl von Stichprobe zu Stichprobe schwanken würde. Er benötigt keine Formel für den Standardfehler und funktioniert daher bei Medianen, Korrelationen und anderen Kennzahlen, für die Lehrbuchintervalle umständlich oder nicht verfügbar sind. Er ist kein Zauberwerkzeug: Eine verzerrte oder sehr kleine Stichprobe kann er nicht reparieren, und bei Kennzahlen, die von den Extremwerten abhängen, etwa dem Maximum, versagt er.

Perzentil-, BCa-, Basis- und Normalintervalle

BCa verwendet zwei Zahlen. Die Verzerrungskorrektur z₀ = Φ⁻¹(Anteil der Resamples unterhalb des Schätzwerts) ist 0, wenn die resampelten Kennzahlen um den Schätzwert zentriert sind. Die Beschleunigung a misst, wie schnell sich der Standardfehler mit dem Parameter ändert; sie wird aus dem Jackknife geschätzt – der Kennzahl, die jeweils mit einem herausgenommenen Wert neu berechnet wird. Die tatsächlich abgelesenen Perzentile sind Φ(z₀ + (z₀ + z) ÷ (1 − a(z₀ + z))) statt 2,5 % und 97,5 %, interpoliert zwischen Ordnungsstatistiken auf der Normalskala, genau wie im R-Paket boot.

Ein Rechenbeispiel

Klicken Sie auf „Beispiel ausprobieren“, um 12 Werte zu laden: 2,1; 2,4; 2,6; 2,7; 2,9; 3; 3,2; 3,5; 3,9; 4,6; 5,8 und 8,2 – eine rechtsschiefe Stichprobe – mit dem Mittelwert als Kennzahl, 95 % Konfidenz, 5.000 Resamples und dem Seed 12345. Der Mittelwert beträgt 3,7417. Der Bootstrap-Standardfehler ist 0,4812 und die Verzerrung −0,0054.

• Perzentilintervall: 2,9333 bis 4,7998.
• BCa-Intervall: 3,05 bis 5,125, mit z₀ = 0,0818 und a = 0,0755. Die Schiefe der Daten verschiebt das BCa-Intervall nach oben und dehnt sein oberes Ende im Vergleich zum Perzentilintervall.
• Zum Vergleich: Das klassische t-Intervall reicht von 2,635 bis 4,848; es ist symmetrisch um den Mittelwert und ignoriert die Schiefe.

Da der Generator mit einem Seed arbeitet, wiederholen sich diese Zahlen bei jedem Durchlauf. R’s boot.ci mit 200.000 Resamples ergibt für dieselben Daten ein Perzentilintervall von 2,917 bis 4,792 und ein BCa-Intervall von 3,033 bis 5,1 – dasselbe Verfahren mit anderen Zufallsziehungen, daher stimmen sie innerhalb des Monte-Carlo-Fehlers überein. Mit dem Median als Kennzahl ergeben dieselben Einstellungen einen Median von 3,1, ein Perzentilintervall von 2,65 bis 4,25 und ein BCa-Intervall von 2,6 bis 4,05. In diesem Fall ist die Jackknife-Beschleunigung null, weil das Herausnehmen eines Werts aus einer Stichprobe gerader Größe den Median nur auf einen von zwei Werten verschieben kann. Für das Korrelationsbeispiel beträgt der Schätzwert r = 0,9063, das Perzentilintervall 0,7371 bis 0,9706 und das BCa-Intervall 0,6703 bis 0,9632. Das obere Ende des Basisintervalls überschreitet 1, weshalb das Perzentil- oder das BCa-Intervall vorzuziehen ist.

Die Anzahl der Resamples wählen

Efron und Tibshirani empfehlen 50 bis 200 Resamples für einen Standardfehler, für ein Konfidenzintervall aber mindestens 1.000, weil die Intervallgrenzen aus den Randbereichen der resampelten Verteilung stammen, wo nur wenige Werte liegen. Der Monte-Carlo-Fehler einer Grenze sinkt mit der Wurzel aus der Anzahl der Resamples; 20.000 Resamples reduzieren ihn daher auf etwa die Hälfte dessen, was 5.000 liefern. Der Resampling-Fehler ist vom Fehler durch eine kleine Stichprobe zu trennen, den mehr Resamples nicht beheben können.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Bootstrap-Konfidenzintervall?

Es ist ein Intervall für eine Kennzahl, das durch Resampling Ihrer eigenen Daten mit Zurücklegen entsteht: Sie berechnen die Kennzahl jedes Mal neu und lesen das Intervall aus der Verteilung der Ergebnisse ab. Für ein 95-%-Perzentilintervall nehmen Sie das 2,5. und das 97,5. Perzentil der resampelten Kennzahlen.

Soll ich das Perzentil- oder das BCa-Intervall verwenden?

BCa ist der bessere Standard, weil es Verzerrung und Schiefe der resampelten Verteilung korrigiert und in Theorie und Praxis genauer ist. Verwenden Sie das Perzentilintervall, wenn Sie die einfachste Erklärung wünschen, wenn die Stichprobe sehr klein ist oder wenn BCa nicht berechnet werden kann, weil alle Resamples auf einer Seite des Schätzwerts liegen.

Wie viele Bootstrap-Resamples brauche ich?

Mindestens 1.000 für ein Konfidenzintervall und 5.000 bis 10.000 für ein stabiles BCa-Intervall. Mehr Resamples verringern das zufällige Zittern an den Intervallgrenzen, machen eine kleine Stichprobe aber nicht aussagekräftiger.

Wofür ist der Zufalls-Seed da?

Der Bootstrap verwendet Zufallszahlen, daher ergeben zwei Durchläufe normalerweise leicht unterschiedliche Intervalle. Ein Seed legt die Zahlenfolge fest und macht den Durchlauf exakt wiederholbar. Geben Sie den Seed, die Anzahl der Resamples und das Verfahren an, damit andere Ihre Intervalle nachvollziehen können.

Stimmt das genau mit R, SPSS oder Stata überein?

Die Verfahren stimmen überein: Perzentil- und BCa-Intervalle folgen R’s boot.ci, und dieselben Resamples ergeben identische Intervalle. Jedes Programm verwendet jedoch seinen eigenen Zufallszahlengenerator, daher stimmen die Intervalle nur innerhalb des Monte-Carlo-Fehlers überein, nicht bis zur letzten Stelle. Bei einigen Tausend Resamples liegt der Unterschied typischerweise in der zweiten Nachkommastelle.

Wann sollte ich den Bootstrap nicht verwenden?

Bei sehr kleinen Stichproben (unter etwa 10 bis 15 Werten), die die Grundgesamtheit möglicherweise nicht repräsentieren; bei Kennzahlen, die von Extremwerten bestimmt werden, etwa dem Minimum oder Maximum; bei abhängigen Daten wie Zeitreihen, sofern Sie keinen Block-Bootstrap verwenden; und wenn die Stichprobe verzerrt ist, weil das Resampling die Verzerrung reproduziert.