Welche Definition der geometrischen Verteilung sollte ich verwenden?

Verwenden Sie die, die Ihr Lehrbuch, Ihre Dozentin bzw. Ihr Dozent oder Ihre Software verwendet. Zählt man Versuche, beginnt X bei 1 und der Mittelwert ist 1/p; zählt man Fehlschläge, beginnt Y bei 0 und der Mittelwert ist (1 − p)/p. Eine Klausurantwort in der falschen Zählweise ist um eins falsch, prüfen Sie daher, welche Zählweise die Aufgabe festlegt.

Wie verwende ich dgeom in R für die Zahl der Versuche?

Die R-Funktion dgeom(x, prob) zählt Fehlschläge vor dem ersten Erfolg, daher ziehen Sie 1 von der Versuchsnummer ab: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg bei Versuch 5 liegt, ist dgeom(4, 0.2) = 0,0819, und pgeom(4, 0.2) = 0,6723 ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bis Versuch 5 kommt. Der Rechner zeigt diese Aufrufe für Ihre Eingaben.

Wie viele Versuche braucht man im Mittel bis zum ersten Erfolg?

1/p, wenn man Versuche zählt. Gelingt jeder Versuch mit der Wahrscheinlichkeit 0,2, erwartet man im Mittel 5 Versuche. Zählt man Fehlschläge, ist der Mittelwert (1 − p)/p = 4, also einer weniger, weil der erfolgreiche Versuch selbst nicht mitgezählt wird.

Wie hängt die geometrische Verteilung mit der Binomial- und der negativen Binomialverteilung zusammen?

Die Binomialverteilung legt die Zahl der Versuche fest und zählt Erfolge. Die geometrische Verteilung legt die Zahl der Erfolge auf eins fest und zählt Versuche. Die negative Binomialverteilung (siehe Negative Binomial Distribution Calculator) verallgemeinert sie auf den r-ten Erfolg, und die geometrische Verteilung ist ihr Sonderfall r = 1.

Setzt die geometrische Verteilung unabhängige Versuche voraus?

Ja, und ein konstantes p. Ziehen von Karten ohne Zurücklegen oder ein Spieler, der mit der Übung besser wird, verletzen die Annahmen. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit verlangt stattdessen die hypergeometrische Verteilung.

Rechner für die geometrische Verteilung

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg bei einem bestimmten Versuch liegt, bis dahin oder danach – und zwar wahlweise mit Zählung der Versuche bis zum ersten Erfolg oder der Fehlschläge davor, wie es Ihr Lehrbuch oder R tut. Der Rechner zeigt die Formel, Mittelwert und Varianz, den passenden R-Aufruf, eine Wahrscheinlichkeitstabelle und ein Säulendiagramm. Kostenlos, ohne Anmeldung.

Was zählen Sie?

Versuche bis einschließlich zum ersten Erfolg (X = 1, 2, 3, …)Fehlschläge vor dem ersten Erfolg (Y = 0, 1, 2, …) — wie R-dgeom

Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch (p)

Versuch, bei dem der erste Erfolg eintritt (k)

Oberes Ende eines Bereichs (optional)

Addiert die Wahrscheinlichkeit eines Wertes von k bis zu dieser Zahl.

Ergebnisse

Wahrscheinlichkeit	Bedeutung	Wert
P(X = 5)	erster Erfolg bei Versuch 5	0,0819
P(X ≤ 5)	erster Erfolg bei Versuch 5 oder früher	0,6723
P(X < 5)	erster Erfolg vor Versuch 5	0,5904
P(X ≥ 5)	erster Erfolg bei Versuch 5 oder später	0,4096
P(X > 5)	erster Erfolg nach Versuch 5	0,3277

Mittelwert (1/p)

Varianz ((1 − p)/p²)

4,4721

Standardabweichung

Median

So wurde gerechnet

P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723

In R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 und pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R zählt Fehlschläge vor dem ersten Erfolg, daher bedeutet ein erster Erfolg bei Versuch 5 4 Fehlschläge.

Zählt man stattdessen Fehlschläge (Y = X − 1), ist der Mittelwert 4, und die Varianz bleibt dieselbe, 20. P(X = 5) entspricht P(Y = 4).

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Geometrische Wahrscheinlichkeiten für p = 0,2, Werte 1 bis 34
k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X ≥ k)
1	0,2000	0,2000	1,0000
2	0,1600	0,3600	0,8000
3	0,1280	0,4880	0,6400
4	0,1024	0,5904	0,5120
5	0,0819	0,6723	0,4096
6	0,0655	0,7379	0,3277
7	0,0524	0,7903	0,2621
8	0,0419	0,8322	0,2097
9	0,0336	0,8658	0,1678
10	0,0268	0,8926	0,1342
11	0,0215	0,9141	0,1074
12	0,0172	0,9313	0,0859
13	0,0137	0,9450	0,0687
14	0,0110	0,9560	0,0550
15	0,0088	0,9648	0,0440
16	0,0070	0,9719	0,0352
17	0,0056	0,9775	0,0281
18	0,0045	0,9820	0,0225
19	0,0036	0,9856	0,0180
20	0,0029	0,9885	0,0144
21	0,0023	0,9908	0,0115
22	0,0018	0,9926	0,0092
23	0,0015	0,9941	0,0074
24	0,0012	0,9953	0,0059
25	0,0009	0,9962	0,0047
26	0,0008	0,9970	0,0038
27	0,0006	0,9976	0,0030
28	0,0005	0,9981	0,0024
29	0,0004	0,9985	0,0019
30	0,0003	0,9988	0,0015
31	0,0002	0,9990	0,0012
32	0,0002	0,9992	0,0010
33	0,0002	0,9994	0,0008
34	0,0001	0,9995	0,0006

So verwenden Sie den Rechner für die geometrische Verteilung

1. Wählen Sie, was Sie zählen. Versuche bis einschließlich zum ersten Erfolg (X = 1, 2, 3, …) oder Fehlschläge vor dem ersten Erfolg (Y = 0, 1, 2, …). Einführungskurse verwenden meist den ersten Fall; R und manche Statistikbücher verwenden den zweiten.
2. Geben Sie p ein. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem unabhängigen Versuch, zum Beispiel 0,2 für eine Chance von eins zu fünf.
3. Geben Sie k ein. Den Versuch, bei dem Sie den ersten Erfolg erwarten (oder die Anzahl der Fehlschläge), und optional ein oberes Ende für einen Bereich.
4. Lesen Sie die Ergebnisse ab. Gleich, höchstens, weniger als, mindestens und mehr als, mit der ausgefüllten Formel, Mittelwert, Varianz und Median, dem entsprechenden R-Aufruf sowie einer Tabelle und einem Säulendiagramm.

Zwei Definitionen der geometrischen Verteilung

Die geometrische Verteilung beschreibt sich wiederholende unabhängige Versuche, jeweils mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p, bis zum ersten Erfolg. Lehrbücher zählen das Ergebnis auf zwei verschiedene Arten, und beide Zählweisen liefern für dasselbe Experiment unterschiedliche Formeln, unterschiedliche Mittelwerte und unterschiedliche Softwareaufrufe.

Die beiden Zählweisen (X = Y + 1)
Eigenschaft	Versuche: X	Fehlschläge: Y
Was gezählt wird	Versuche bis einschließlich zum ersten Erfolg	Fehlschläge vor dem ersten Erfolg
Mögliche Werte	1, 2, 3, …	0, 1, 2, …
Wahrscheinlichkeit eines Wertes k	(1 − p)^k−1 p	(1 − p)^k p
P(≤ k)	1 − (1 − p)^k	1 − (1 − p)^k+1
P(≥ k)	(1 − p)^k−1	(1 − p)^k
Mittelwert	1/p	(1 − p)/p
Varianz	(1 − p)/p²	(1 − p)/p²
Software	geom in SciPy	R: dgeom, pgeom, qgeom

Um zwischen beiden zu wechseln, denken Sie an X = Y + 1. Ein erster Erfolg bei Versuch 5 bedeutet 4 Fehlschläge, also gilt P(X = 5) = P(Y = 4), und der Mittelwert unterscheidet sich genau um 1; die Varianz ist identisch. Der Rechner zeigt diese Umrechnung mit Ihren Zahlen, einschließlich des R-Aufrufs, der dieselbe Wahrscheinlichkeit liefert: Der Aufruf dgeom(4, 0.2) beantwortet „erster Erfolg bei Versuch 5“.

Durchgerechnetes Beispiel: Verkaufsanrufe

Ein Anrufer schließt bei 20 % der Anrufe unabhängig voneinander einen Verkauf ab, also p = 0,2. Zählt man Versuche, ist die Chance, dass der erste Verkauf beim fünften Anruf kommt, 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Die Chance, dass er bis zum fünften Anruf kommt, beträgt 1 − 0,8⁵ = 0,6723, beim fünften oder später 0,8⁴ = 0,4096 und nach dem fünften 0,8⁵ = 0,3277.

Der Mittelwert ist 1/p = 5 Anrufe, und die Varianz ist 0,8 / 0,2² = 20, also beträgt die Standardabweichung 4,4721 – groß im Verhältnis zum Mittelwert, was typisch ist: Wartezeiten auf seltene Erfolge schwanken stark. Der Median ist 4: Die Hälfte aller Anrufer schließt ihren ersten Verkauf innerhalb von vier Anrufen ab. Zählt man stattdessen Fehlschläge, ist der Mittelwert 4, und dgeom(4, 0.2) liefert dasselbe Ergebnis, 0,0819.

Eine gedächtnislose Verteilung

Nach fünf Fehlschlägen hintereinander ist die Chance auf einen Erfolg beim nächsten Versuch immer noch p. Die geometrische Verteilung ist die diskrete gedächtnislose Verteilung, das Gegenstück zur stetigen Exponentialverteilungsrechner: Frühere Fehlschläge machen einen Erfolg nicht „fällig“, und genau das übersieht der Spielerfehlschluss.

Häufig gestellte Fragen

Welche Definition der geometrischen Verteilung sollte ich verwenden?: Verwenden Sie die, die Ihr Lehrbuch, Ihre Dozentin bzw. Ihr Dozent oder Ihre Software verwendet. Zählt man Versuche, beginnt X bei 1 und der Mittelwert ist 1/p; zählt man Fehlschläge, beginnt Y bei 0 und der Mittelwert ist (1 − p)/p. Eine Klausurantwort in der falschen Zählweise ist um eins falsch, prüfen Sie daher, welche Zählweise die Aufgabe festlegt.
Wie finde ich die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg bei Versuch k liegt?: Multiplizieren Sie k − 1 Fehlschläge und einen Erfolg: (1 − p)^k−1 × p. Mit p = 0,2 und k = 5 ergibt das 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bis Versuch k ist das Gegenereignis von k Fehlschlägen hintereinander, 1 − (1 − p)^k.
Wie verwende ich dgeom in R für die Zahl der Versuche?: Die R-Funktion dgeom(x, prob) zählt Fehlschläge vor dem ersten Erfolg, daher ziehen Sie 1 von der Versuchsnummer ab: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg bei Versuch 5 liegt, ist dgeom(4, 0.2) = 0,0819, und pgeom(4, 0.2) = 0,6723 ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bis Versuch 5 kommt. Der Rechner zeigt diese Aufrufe für Ihre Eingaben.
Wie viele Versuche braucht man im Mittel bis zum ersten Erfolg?: 1/p, wenn man Versuche zählt. Gelingt jeder Versuch mit der Wahrscheinlichkeit 0,2, erwartet man im Mittel 5 Versuche. Zählt man Fehlschläge, ist der Mittelwert (1 − p)/p = 4, also einer weniger, weil der erfolgreiche Versuch selbst nicht mitgezählt wird.
Wie hängt die geometrische Verteilung mit der Binomial- und der negativen Binomialverteilung zusammen?: Die Binomialverteilung legt die Zahl der Versuche fest und zählt Erfolge. Die geometrische Verteilung legt die Zahl der Erfolge auf eins fest und zählt Versuche. Die negative Binomialverteilung (siehe Negative Binomial Distribution Calculator) verallgemeinert sie auf den r-ten Erfolg, und die geometrische Verteilung ist ihr Sonderfall r = 1.
Setzt die geometrische Verteilung unabhängige Versuche voraus?: Ja, und ein konstantes p. Ziehen von Karten ohne Zurücklegen oder ein Spieler, der mit der Übung besser wird, verletzen die Annahmen. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit verlangt stattdessen die hypergeometrische Verteilung.