Công Cụ Tính Phân Phối Hình Học
Tìm xác suất lần thành công đầu tiên rơi vào một lần thử nhất định, đến một lần thử nhất định, hoặc sau một lần thử — đếm số lần thử đến lần thành công đầu tiên hoặc số lần thất bại trước đó, tùy theo sách giáo khoa hoặc R. Công cụ hiển thị công thức, kỳ vọng và phương sai, lệnh R tương ứng, bảng xác suất và biểu đồ cột. Miễn phí, không cần đăng ký.
Cộng xác suất của một giá trị từ k đến số này.
Kết quả
| Xác suất | Ý nghĩa | Giá trị |
|---|---|---|
| P(X = 5) | thành công đầu tiên ở lần thử 5 | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | thành công đầu tiên ở lần thử 5 hoặc sớm hơn | 0,6723 |
| P(X < 5) | thành công đầu tiên trước lần thử 5 | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | thành công đầu tiên ở lần thử 5 hoặc muộn hơn | 0,4096 |
| P(X > 5) | thành công đầu tiên sau lần thử 5 | 0,3277 |
5
Kỳ vọng (1/p)
20
Phương sai ((1 − p)/p²)
4,4721
Độ lệch chuẩn
4
Trung vị
Cách tính
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
Trong R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 và pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R đếm số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên, nên lần thành công đầu tiên ở lần thử 5 là 4 lần thất bại.
Nếu đếm số lần thất bại thay thế (Y = X − 1), kỳ vọng là 4 và phương sai vẫn là 20. P(X = 5) bằng P(Y = 4).
Phân phối xác suất
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Phân Phối Hình Học
- 1. Chọn những gì bạn đếm. Số lần thử đến và gồm cả lần thành công đầu tiên (X = 1, 2, 3, …) hoặc số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên (Y = 0, 1, 2, …). Các khóa học nhập môn thường dùng cách đầu; R và một số sách thống kê dùng cách sau.
- 2. Nhập p. Xác suất thành công trong mỗi lần thử độc lập, ví dụ 0,2 cho cơ hội một trên năm.
- 3. Nhập k. Lần thử mà bạn muốn có lần thành công đầu tiên (hoặc số lần thất bại), và tùy chọn một đầu mút trên cho khoảng.
- 4. Đọc kết quả. Bằng, tối đa, nhỏ hơn, ít nhất và lớn hơn, với công thức được điền đầy đủ, kỳ vọng, phương sai và trung vị, lệnh R tương đương, cùng bảng và biểu đồ cột.
Hai Định Nghĩa Của Phân Phối Hình Học
Phân phối hình học mô tả các lần thử độc lập lặp lại, mỗi lần có cùng xác suất thành công p, cho đến khi có lần thành công đầu tiên. Sách giáo khoa đếm kết quả theo hai cách khác nhau, và hai cách cho ra các công thức khác nhau, kỳ vọng khác nhau và các lệnh phần mềm khác nhau cho chính thí nghiệm đó.
| Thuộc tính | Số lần thử: X | Số lần thất bại: Y |
|---|---|---|
| Đếm gì | Số lần thử đến và gồm cả lần thành công đầu tiên | Số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên |
| Giá trị có thể | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| Xác suất của giá trị k | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Kỳ vọng | 1/p | (1 − p)/p |
| Phương sai | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Phần mềm | geom của SciPy | R's dgeom, pgeom, qgeom |
Để chuyển giữa hai cách, hãy nhớ X = Y + 1. Lần thành công đầu tiên ở lần thử thứ 5 tương ứng với 4 lần thất bại, nên P(X = 5) = P(Y = 4) và kỳ vọng khác nhau đúng 1; phương sai thì giống hệt. Công cụ in phép đổi này với các số của bạn, kèm lệnh hàm R cho cùng xác suất: dgeom(4, 0.2) của R trả lời "thành công đầu tiên ở lần thử thứ 5".
Ví Dụ Minh Họa: Cuộc Gọi Bán Hàng
Một nhân viên bán hàng chốt được đơn trong 20% cuộc gọi, độc lập, nên p = 0,2. Khi đếm số lần thử, xác suất đơn hàng đầu tiên rơi vào cuộc gọi thứ năm là 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Xác suất nó xảy ra trong vòng năm cuộc gọi là 1 − 0,8⁵ = 0,6723, ở cuộc thứ năm hoặc muộn hơn là 0,8⁴ = 0,4096, và sau cuộc thứ năm là 0,8⁵ = 0,3277.
Kỳ vọng là 1/p = 5 cuộc gọi và phương sai là 0,8 / 0,2² = 20, nên độ lệch chuẩn là 4,4721 — lớn so với kỳ vọng, điều thường gặp: thời gian chờ một thành công hiếm biến động rất nhiều. Trung vị là 4: một nửa số nhân viên chốt được đơn đầu tiên trong bốn cuộc gọi. Nếu đếm số lần thất bại thay thế, kỳ vọng là 4, và dgeom(4, 0.2) của R trả về cùng 0,0819.
Phân phối không có trí nhớ
Sau năm lần thất bại liên tiếp, xác suất thành công ở lần thử kế tiếp vẫn là p. Phân phối hình học là phân phối rời rạc không có trí nhớ, tương ứng với phân phối mũ liên tục trong Công Cụ Tính Phân Phối Mũ: các lần thất bại trước đó không làm cho thành công trở nên "đến lượt", điều mà ngụy biện con bạc bỏ qua.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Nên dùng định nghĩa nào của phân phối hình học?
- Dùng định nghĩa mà sách giáo khoa, giảng viên hoặc phần mềm của bạn dùng. Nếu đếm số lần thử, X bắt đầu từ 1 và kỳ vọng là 1/p; nếu đếm số lần thất bại, Y bắt đầu từ 0 và kỳ vọng là (1 − p)/p. Một đáp án thi theo sai quy ước sẽ sai một đơn vị, nên hãy kiểm tra đề bài định nghĩa cách nào.
- Làm sao tìm xác suất lần thành công đầu tiên rơi vào lần thử k?
- Nhân k − 1 lần thất bại với một lần thành công: (1 − p)k−1 × p. Với p = 0,2 và k = 5, đó là 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Xác suất có thành công trước lần thử k là phần bù của k lần thất bại liên tiếp, 1 − (1 − p)k.
- Làm sao dùng dgeom của R cho số lần thử?
- dgeom(x, prob) của R đếm số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên, nên hãy trừ 1 khỏi số lần thử: xác suất lần thành công đầu tiên ở lần thử 5 là dgeom(4, 0.2) = 0,0819, và pgeom(4, 0.2) = 0,6723 là xác suất nó xảy ra trong vòng lần thử 5. Công cụ hiển thị các lệnh này với đầu vào của bạn.
- Số lần thử kỳ vọng cho đến lần thành công đầu tiên là bao nhiêu?
- 1/p khi đếm số lần thử. Nếu mỗi lần thử thành công với xác suất 0,2, bạn kỳ vọng trung bình 5 lần thử. Khi đếm số lần thất bại, kỳ vọng là (1 − p)/p = 4, ít hơn một, vì lần thử thành công bản thân không được đếm.
- Phân phối hình học liên quan thế nào đến nhị thức và nhị thức âm?
- Phân phối nhị thức cố định số lần thử và đếm số thành công. Phân phối hình học cố định số thành công bằng một và đếm số lần thử. Phân phối nhị thức âm tổng quát hóa nó đến lần thành công thứ r, và phân phối hình học là trường hợp đặc biệt r = 1.
- Phân phối hình học có giả định các lần thử độc lập không?
- Có, và p không đổi. Rút bài không hoàn lại, hoặc một người chơi tiến bộ dần qua luyện tập, sẽ phá vỡ các giả định. Lấy mẫu không hoàn lại từ một quần thể nhỏ cần dùng phân phối siêu bội thay thế.