Calcolatore della distribuzione geometrica
Trova la probabilità che il primo successo arrivi a una data prova, entro una data prova oppure dopo di essa — contando le prove fino al primo successo o gli insuccessi prima di esso, come fanno il tuo libro di testo o R. Il calcolatore mostra la formula, la media e la varianza, la chiamata R corrispondente, una tabella di probabilità e un grafico a barre. Gratuito, senza registrazione.
Somma la probabilità di un valore da k fino a questo numero.
Risultati
| Probabilità | Significato | Valore |
|---|---|---|
| P(X = 5) | primo successo alla prova 5 | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | primo successo alla prova 5 o prima | 0,6723 |
| P(X < 5) | primo successo prima della prova 5 | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | primo successo alla prova 5 o dopo | 0,4096 |
| P(X > 5) | primo successo dopo la prova 5 | 0,3277 |
5
Media (1/p)
20
Varianza ((1 − p)/p²)
4,4721
Deviazione standard
4
Mediana
Come è stato calcolato
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
In R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 e pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R conta gli insuccessi prima del primo successo, quindi un primo successo alla prova 5 corrisponde a 4 insuccessi.
Contando invece gli insuccessi (Y = X − 1), la media è 4 e la varianza è la stessa, 20. P(X = 5) è uguale a P(Y = 4).
Distribuzione di probabilità
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Come usare il calcolatore della distribuzione geometrica
- 1. Scegli che cosa conti. Le prove fino al primo successo compreso (X = 1, 2, 3, …) oppure gli insuccessi prima del primo successo (Y = 0, 1, 2, …). I corsi introduttivi usano più spesso la prima; R e alcuni libri di statistica usano la seconda.
- 2. Inserisci p. La probabilità di successo in ciascuna prova indipendente, per esempio 0,2 per una probabilità di uno su cinque.
- 3. Inserisci k. La prova in cui vuoi il primo successo (o il numero di insuccessi), e facoltativamente un estremo superiore per un intervallo.
- 4. Leggi i risultati. Uguale, al massimo, meno di, almeno e più di, con la formula compilata, la media, la varianza e la mediana, la chiamata R equivalente, e una tabella e un grafico a barre.
Due definizioni della distribuzione geometrica
La distribuzione geometrica descrive prove indipendenti ripetute, ciascuna con la stessa probabilità di successo p, fino al primo successo. I libri di testo contano l'esito in due modi diversi, e i due danno formule, medie e chiamate software diverse per lo stesso identico esperimento.
| Proprietà | Prove: X | Insuccessi: Y |
|---|---|---|
| Che cosa conta | Prove fino al primo successo compreso | Insuccessi prima del primo successo |
| Valori possibili | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| Probabilità di un valore k | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Media | 1/p | (1 − p)/p |
| Varianza | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Software | geom di SciPy | dgeom, pgeom, qgeom di R |
Per passare dall'una all'altra, ricorda X = Y + 1. Un primo successo alla prova 5 corrisponde a 4 insuccessi, quindi P(X = 5) = P(Y = 4) e la media differisce esattamente di 1; la varianza è identica. Il calcolatore stampa questa conversione con i tuoi numeri, incluso la funzione R che dà la stessa probabilità: dgeom(4, 0.2) di R risponde «primo successo alla prova 5».
Esempio svolto: chiamate di vendita
Un addetto chiude una vendita nel 20% delle chiamate, in modo indipendente, quindi p = 0,2. Contando le prove, la probabilità che la prima vendita arrivi alla quinta chiamata è 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. La probabilità che arrivi entro la quinta chiamata è 1 − 0,8⁵ = 0,6723, alla quinta o dopo 0,8⁴ = 0,4096, e dopo la quinta 0,8⁵ = 0,3277.
La media è 1/p = 5 chiamate e la varianza è 0,8 / 0,2² = 20, quindi la deviazione standard è 4,4721 — grande rispetto alla media, come ci si aspetta: i tempi di attesa di successi rari variano molto. La mediana è 4: metà di tutti gli addetti chiude la prima vendita entro quattro chiamate. Contando gli insuccessi, la media è 4, e dgeom(4, 0.2) di R restituisce lo stesso 0,0819.
Una distribuzione senza memoria
Dopo cinque insuccessi di fila, la probabilità di successo alla prova successiva è ancora p. La geometrica è la distribuzione discreta senza memoria, l'equivalente della distribuzione esponenziale continua: gli insuccessi passati non rendono il successo «dovuto», ed è proprio il punto che sfugge alla fallacia del giocatore.
Domande frequenti
- Quale definizione della distribuzione geometrica devo usare?
- Usa quella del tuo libro di testo, del docente o del software che usi. Se si contano le prove, X parte da 1 e la media è 1/p; se si contano gli insuccessi, Y parte da 0 e la media è (1 − p)/p. Una risposta d'esame nella convenzione sbagliata è sbagliata di una unità, quindi verifica quale definisce la domanda.
- Come trovo la probabilità che il primo successo sia alla prova k?
- Moltiplica k − 1 insuccessi per un successo: (1 − p)k−1 × p. Con p = 0,2 e k = 5 è 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. La probabilità di un successo entro la prova k è il complemento di k insuccessi di fila, 1 − (1 − p)k.
- Come uso dgeom di R per il numero di prove?
- dgeom(x, prob) di R conta gli insuccessi prima del primo successo, quindi sottrai 1 al numero di prova: la probabilità che il primo successo sia alla prova 5 è dgeom(4, 0.2) = 0,0819, e pgeom(4, 0.2) = 0,6723 è la probabilità che arrivi entro la prova 5. Il calcolatore mostra queste chiamate per i tuoi dati.
- Qual è il numero atteso di prove fino al primo successo?
- 1/p quando si contano le prove. Se ogni tentativo riesce con probabilità 0,2, ci si aspettano in media 5 tentativi. Contando gli insuccessi la media è (1 − p)/p = 4, uno in meno, perché la prova riuscita non viene contata.
- Come si collega la distribuzione geometrica alla binomiale e alla binomiale negativa?
- La binomiale fissa il numero di prove e conta i successi. La geometrica fissa il numero di successi a uno e conta le prove. La binomiale negativa la generalizza all'r-esimo successo, e la geometrica ne è il caso speciale r = 1.
- La distribuzione geometrica presuppone prove indipendenti?
- Sì, e una p costante. Estrarre carte senza reinserimento, o un giocatore che migliora con la pratica, violano le ipotesi. Il campionamento senza reinserimento da una popolazione piccola richiede invece la distribuzione ipergeometrica.