Kalkulator rozkładu geometrycznego
Znajdź prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces przypadnie w danej próbie, do danej próby albo po niej — licząc albo próby do pierwszego sukcesu, albo porażki przed nim, tak jak robi to twój podręcznik lub R. Kalkulator pokazuje wzór, wartość średnią i wariancję, odpowiadające wywołanie w R, tabelę prawdopodobieństw i wykres słupkowy. Za darmo, bez rejestracji.
Dodaje prawdopodobieństwo wartości od k do tej liczby.
Wyniki
| Prawdopodobieństwo | Znaczenie | Wartość |
|---|---|---|
| P(X = 5) | pierwszy sukces w próbie 5 | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | pierwszy sukces w próbie 5 lub wcześniej | 0,6723 |
| P(X < 5) | pierwszy sukces przed próbą 5 | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | pierwszy sukces w próbie 5 lub później | 0,4096 |
| P(X > 5) | pierwszy sukces po próbie 5 | 0,3277 |
5
Wartość średnia (1/p)
20
Wariancja ((1 − p)/p²)
4,4721
Odchylenie standardowe
4
Mediana
Jak to obliczono
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
W R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 i pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R liczy porażki przed pierwszym sukcesem, więc pierwszy sukces w próbie 5 to 4 porażek.
Licząc zamiast tego porażki (Y = X − 1), wartość średnia wynosi 4, a wariancja jest ta sama, 20. P(X = 5) jest równe P(Y = 4).
Rozkład prawdopodobieństwa
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Jak korzystać z kalkulatora rozkładu geometrycznego
- 1. Wybierz, co liczysz. Próby do pierwszego sukcesu włącznie (X = 1, 2, 3, …) albo porażki przed pierwszym sukcesem (Y = 0, 1, 2, …). Kursy wprowadzające najczęściej używają pierwszej wersji; R i niektóre podręczniki statystyki — drugiej.
- 2. Wpisz p. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdej niezależnej próbie, na przykład 0,2 dla szansy jeden do pięciu.
- 3. Wpisz k. Próbę, na której chcesz mieć pierwszy sukces (albo liczbę porażek), i opcjonalnie górny koniec zakresu.
- 4. Odczytaj wyniki. Równo, najwyżej, poniżej, co najmniej i powyżej, z wypełnionym wzorem, wartością średnią, wariancją i medianą, odpowiadającym wywołaniem w R oraz tabelą i wykresem słupkowym.
Dwie definicje rozkładu geometrycznego
Rozkład geometryczny opisuje powtarzane niezależne próby, z których każda ma to samo prawdopodobieństwo sukcesu p, aż do pierwszego sukcesu. Podręczniki liczą wynik na dwa różne sposoby, a te dwa dają różne wzory, różne wartości średnie i różne wywołania oprogramowania dla tego samego doświadczenia.
| Właściwość | Próby: X | Porażki: Y |
|---|---|---|
| Co liczy | Próby do pierwszego sukcesu włącznie | Porażki przed pierwszym sukcesem |
| Możliwe wartości | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| Prawdopodobieństwo wartości k | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Wartość średnia | 1/p | (1 − p)/p |
| Wariancja | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Oprogramowanie | geom w SciPy | dgeom, pgeom, qgeom w R |
Aby przejść między nimi, pamiętaj: X = Y + 1. Pierwszy sukces w próbie 5 to 4 porażki, więc P(X = 5) = P(Y = 4), a wartość średnia różni się dokładnie o 1; wariancja jest identyczna. Kalkulator wypisuje to przeliczenie z twoimi liczbami, łącznie z wywołaniem funkcji R, które daje to samo prawdopodobieństwo: dgeom(4, 0.2) w R odpowiada na pytanie o „pierwszy sukces w próbie 5”.
Przykład krok po kroku: rozmowy sprzedażowe
Konsultant zamyka sprzedaż w 20% rozmów, niezależnie, więc p = 0,2. Licząc próby, szansa, że pierwsza sprzedaż przypadnie na piątą rozmowę, wynosi 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Szansa, że nastąpi do piątej rozmowy włącznie, to 1 − 0,8⁵ = 0,6723; w piątej lub później 0,8⁴ = 0,4096, a po piątej 0,8⁵ = 0,3277.
Wartość średnia to 1/p = 5 rozmów, a wariancja to 0,8 / 0,2² = 20, więc odchylenie standardowe wynosi 4,4721 — duże w porównaniu z wartością średnią, co jest typowe: czasy oczekiwania na rzadkie sukcesy bardzo się różnią. Mediana to 4: połowa rozmówców zamyka pierwszą sprzedaż w czterech rozmowach. Licząc porażki, wartość średnia wynosi 4, a dgeom(4, 0.2) z R zwraca to samo 0,0819.
Rozkład bez pamięci
Po pięciu porażkach z rzędu szansa sukcesu w następnej próbie wciąż wynosi p. Rozkład geometryczny to dyskretny rozkład bez pamięci, odpowiednik ciągłego rozkładu wykładniczego: dotychczasowe porażki nie sprawiają, że sukces jest „należny”, i właśnie tego nie dostrzega błąd hazardzisty.
Najczęstsze pytania
- Której definicji rozkładu geometrycznego powinienem użyć?
- Użyj tej, której używa twój podręcznik, prowadzący lub oprogramowanie. Jeśli liczy się próby, X zaczyna się od 1, a wartość średnia to 1/p; jeśli liczy się porażki, Y zaczyna się od 0, a wartość średnia to (1 − p)/p. Odpowiedź na egzaminie w złej konwencji jest błędna o jeden, więc sprawdź, którą definiuje pytanie.
- Jak znaleźć prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces przypada w próbie k?
- Pomnóż k − 1 porażek i jeden sukces: (1 − p)k−1 × p. Dla p = 0,2 i k = 5 to 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Prawdopodobieństwo sukcesu do próby k to dopełnienie k kolejnych porażek, 1 − (1 − p)k.
- Jak użyć dgeom z R dla liczby prób?
- dgeom(x, prob) z R liczy porażki przed pierwszym sukcesem, więc odejmij 1 od numeru próby: prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces przypada w próbie 5, to dgeom(4, 0.2) = 0,0819, a pgeom(4, 0.2) = 0,6723 to prawdopodobieństwo, że nastąpi on do próby 5. Kalkulator pokazuje te wywołania dla twoich danych.
- Jaka jest oczekiwana liczba prób do pierwszego sukcesu?
- 1/p, licząc próby. Jeśli każda próba kończy się sukcesem z prawdopodobieństwem 0,2, spodziewasz się średnio 5 prób. Licząc porażki, wartość średnia to (1 − p)/p = 4, o jedną mniej, bo udana próba sama nie jest liczona.
- Jak rozkład geometryczny wiąże się z dwumianowym i ujemnym dwumianowym?
- Rozkład dwumianowy ustala liczbę prób i liczy sukcesy. Geometryczny ustala liczbę sukcesów na jeden i liczy próby. Ujemny rozkład dwumianowy uogólnia go na r-ty sukces, a geometryczny jest jego przypadkiem szczególnym dla r = 1.
- Czy rozkład geometryczny zakłada niezależne próby?
- Tak, oraz stałe p. Losowanie kart bez zwracania albo gracz, który poprawia się z praktyką, łamie te założenia. Losowanie bez zwracania z małej populacji wymaga zamiast tego rozkładu hipergeometrycznego.