Kalkulator rozkładu wykładniczego
Wpisz intensywność λ lub średnią rozkładu wykładniczego oraz wartość x, a otrzymasz gęstość, prawdopodobieństwa skumulowane i przeżycia, prawdopodobieństwo przedziału, medianę i dowolny percentyl — z pokazanymi obliczeniami, sprawdzeniem braku pamięci i zacieniowaną krzywą. Za darmo, bez rejestracji.
Dodaje do wyników P(x ≤ X ≤ tę wartość).
Pokazuje, że czas, który jeszcze pozostał, nie zależy od s.
Znajduje x, dla którego P(X ≤ x) = p, np. 0,9 dla 90. percentyla.
Wyniki
λ = 1/średnia = 1/4 = 0,25
| Prawdopodobieństwo | Znaczenie | Wartość |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | co najwyżej 6 (także: mniej niż 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | więcej niż 6 (także: co najmniej 6; funkcja przeżycia) | 0,2231 |
| f(6) | Gęstość w x: f(x) = λe^(−λx). To gęstość, a nie prawdopodobieństwo: może przekraczać 1. | 0,055783 |
4
Średnia (1/λ)
16
Wariancja (1/λ²)
4
Odchylenie standardowe (1/λ)
2,7726
Mediana (ln 2 / λ)
0,25
Intensywność awarii (λ)
Brak pamięci
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. Te dwie wartości są równe: to, że już czekano 3, nie zmienia czasu, który jeszcze pozostał.
Kwantyl
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Zatem P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Krzywa gęstości
Gęstość wykładnicza dla λ = 0,25. Zacieniowane pole pod krzywą wynosi P(X ≤ x).
Jak korzystać z kalkulatora rozkładu wykładniczego
- 1. Określ, którego parametru używasz. Wybierz intensywność λ (zdarzenia na jednostkę czasu) albo średnią 1/λ (jednostki czasu na zdarzenie) i wpisz ją. Kalkulator przelicza drugi parametr i pokazuje przeliczenie.
- 2. Wpisz x. Czas, odległość albo inną wielkość, o którą pytasz. Dodaj górny koniec, jeśli chcesz prawdopodobieństwo przedziału.
- 3. Dodatki opcjonalne. Wpisz czas, który już upłynął, s, aby zobaczyć w działaniu brak pamięci, albo prawdopodobieństwo p, aby znaleźć x, które je odcina (p = 0,9 daje 90. percentyl).
- 4. Odczytaj wyniki. P(X ≤ x), P(X > x), gęstość f(x), średnią, wariancję, medianę i intensywność awarii oraz krzywą z zacieniowanym prawdopodobieństwem.
Co modeluje rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy opisuje czas oczekiwania na następne zdarzenie, gdy zdarzenia zachodzą niezależnie ze stałą średnią intensywnością: odstępy między połączeniami na infolinii, czas do rozpadu atomu promieniotwórczego, odległość między wadami wzdłuż kabla. Jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego i jest związany z rozkładem Poissona: jeśli liczba zdarzeń w okresie ma rozkład Poissona o intensywności λ, czasy między zdarzeniami mają rozkład wykładniczy o tej samej λ.
| Wielkość | Wzór |
|---|---|
| Gęstość | f(x) = λe−λx |
| Prawdopodobieństwo skumulowane | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Funkcja przeżycia | P(X > x) = e−λx |
| Kwantyl dla prawdopodobieństwa p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Średnia i odchylenie standardowe | 1/λ każde |
| Wariancja | 1/λ² |
| Mediana | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Intensywność czy średnia? Sprawdź, którego parametru używa twoje źródło
Podręczniki różnie dzielą parametr. Jedne piszą intensywność λ, inne średnią (lub skalę) θ = β = 1/λ. Oprogramowanie dzieli się tak samo: dexp, pexp i qexp w R przyjmują intensywność, podobnie jak EXPON.DIST w Excelu, a scipy.stats.expon w Pythonie przyjmuje scale = 1/λ. Pomylenie ich to najczęstszy błąd przy tym rozkładzie — średnia 4 minuty to intensywność 0,25 na minutę, a nie 4. Wybierz pasującą opcję powyżej, a kalkulator wykona przeliczenie.
Przykład krok po kroku: czas między połączeniami
Połączenia na infolinię nadchodzą średnio co 4 minuty, więc średnia wynosi 4, a λ = 1/4 = 0,25 na minutę. Szansa, że czas oczekiwania na następne połączenie wyniesie co najwyżej 6 minut, to P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, a szansa, że będzie dłuższy, to P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. Szansa, że czas oczekiwania zawiera się między 2 a 6 minutami, to e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
Mediana czasu oczekiwania to ln 2 / 0,25 = 2,7726 minuty — krócej niż średnia 4, bo rozkład ma prawostronną skośność. 90. percentyl to −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 minuty: dziewięć połączeń na dziesięć nadchodzi w ciągu około 9,2 minuty od poprzedniego.
Brak pamięci
Załóżmy, że minęły 3 minuty bez połączenia. Szansa, że czekanie potrwa jeszcze co najmniej 6 minut, to P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231 — dokładnie P(X > 6), czyli wartość dla startu od zera. Rozkład wykładniczy jest jedynym ciągłym rozkładem o tej własności, a wynika ona ze stałej intensywności: w każdej chwili szansa zdarzenia w najbliższym momencie wynosi λ, bez względu na to, jak długo już się czekało.
Kiedy rozkład wykładniczy jest złym modelem
Brak pamięci to silne założenie. Bateria albo człowiek się starzeją, więc model czasu życia o rosnącej intensywności (Weibulla albo gamma) lepiej pasuje niż wykładniczy; rozkład wykładniczy pasuje do zdarzeń, które zachodzą bez zużycia, jak losowe przybycia.
Najczęstsze pytania
- Jak znaleźć λ ze średniej?
- Weź odwrotność: λ = 1/średnia. Średni czas oczekiwania 4 minuty daje λ = 0,25 na minutę, a intensywność 3 zdarzenia na godzinę daje średnią 1/3 godziny, czyli 20 minut. Zachowaj spójność jednostek x z jednostkami λ, inaczej prawdopodobieństwa będą błędne.
- Co oznacza brak pamięci?
- Oznacza, że P(X > s + t | X > s) = P(X > t): czas, który już upłynął, nie zmienia rozkładu czasu, który jeszcze pozostał. Jeśli autobus przyjeżdża losowo, ze średnim odstępem 10 minut, po 20 minutach czekania oczekiwany pozostały czas wciąż wynosi 10 minut.
- Jak są powiązane rozkłady wykładniczy i Poissona?
- Opisują ten sam proces z dwóch stron. Poisson zlicza zdarzenia w ustalonym okresie, a wykładniczy mierzy czas między zdarzeniami. Jeśli połączenia nadchodzą z intensywnością 3 na godzinę (Poisson, λ = 3), odstęp między nimi ma rozkład wykładniczy o średniej 20 minut, a szansa czekania ponad 5 minut wynosi e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Jak obliczyć P(X > x) dla rozkładu wykładniczego?
- Użyj funkcji przeżycia e−λx. Dla λ = 0,25 i x = 6 to e−1,5 = 0,2231. Nie trzeba odejmować od 1 — dlatego kalkulator liczy ogon bezpośrednio i zachowuje precyzję daleko w ogonie.
- Dlaczego mediana jest mniejsza od średniej?
- Rozkład jest silnie prawostronnie skośny: wiele krótkich czasów i kilka bardzo długich podnosi średnią. Mediana to ln 2 / λ, około 69% średniej 1/λ. Połowa wszystkich czasów oczekiwania jest krótsza niż 0,69 średniego czasu.
- Czy rozkład wykładniczy dobrze modeluje czasy życia?
- Tylko wtedy, gdy intensywność awarii jest stała, jak przy losowych wstrząsach albo elektronice w okresie użytkowania. Zużycie, wczesna śmiertelność i starzenie sprawiają, że intensywność zmienia się w czasie, a wtedy rozkład wykładniczy źle szacuje oba ogony. Sprawdź dopasowanie, zanim na nim polegasz.